Poliedro uniforme

Summary

Un poliedro uniforme es una figura tridimensional que tiene polígonos regulares como caras y es isogonal (es decir, presenta una isometría que permite hacer corresponder el conjunto de sus vértices entre sí mediante relaciones de simetría). De ello se deduce que todos sus vértices son congruentes.[1]

Los poliedros uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos con respecto a caras y aristas), cuasirregulares (si son transitivos con respecto a sus aristas pero no con respecto a sus caras) o semirregulares (si no son transitivos de aristas ni de caras). No es necesario que la configuración de caras y de vértices sea convexa, por lo que muchos de los poliedros uniformes también son poliedros estrellados.

Hay dos clases infinitas de poliedros uniformes, junto con otros 75 poliedros:[2]

Por tanto, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

También hay muchos poliedros uniformes degenerados con pares de bordes que coinciden, incluido uno encontrado por John Skilling denominado gran dirrombidodecaedro birromo (figura de Skilling).

Los poliedros conjugados de los poliedros uniformes son figuras isoedrales (es decir, isoédricas), presentan figuras de vértice regulares, y generalmente se clasifican en paralelo con su poliedro dual (uniforme). El dual de un poliedro regular es regular, mientras que el dual de un sólido de Arquímedes es un sólido de Catalan.

El concepto de poliedro uniforme es un caso especial del concepto de politopo uniforme, que también se aplica a las formas en el espacio de dimensiones superiores e inferiores.

DefiniciónEditar

El pecado original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, y a través de Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros continúa afligiendo todo el trabajo sobre este tema (incluido el del presente autor). Surge del hecho de que el uso tradicional del término "poliedros regulares" era, y es, contrario a la sintaxis y a la lógica: las palabras parecen implicar que estamos tratando, entre los objetos que llamamos "poliedros", con aquellos especiales, los que merecen ser llamados "regulares". Pero en cada etapa —Euclides, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, …— los distintos autores no lograron definir cuáles son los "poliedros" entre los que encuentran los "regulares". Branko Grünbaum (1994)[3]

Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954) definen los poliedros uniformes como poliedros con caras regulares y transitividad entre sus vértices (es decir, con propiedades de isoedría). A su vez, definen un poliedro como un conjunto finito de polígonos, de modo que cada lado de un polígono es un lado de otro polígono, de modo que ningún subconjunto propio no vacío de los polígonos tiene la misma propiedad. Por polígono se refieren implícitamente a un polígono en un espacio euclídeo tridimensional; se permite que no sean convexos y que sus aristas se crucen entre sí.[4]

Hay algunas generalizaciones del concepto de poliedro uniforme. Si se descarta el supuesto de conectividad, se obtienen sólidos compuestos uniformes, que se pueden considerar como la unión de poliedros (como por ejemplo, el compuesto de 5 cubos). Si se deja de lado la condición de que la configuración del poliedro no sea degenerada, se obtienen los llamados poliedros uniformes degenerados, que requieren una definición más general del concepto de poliedro. Grünbaum (1994) dio una definición bastante complicada de poliedro, mientras que McMullen y Schulte (2002) dio una definición más simple y general: en su terminología, un poliedro es un politopo abstracto bidimensional con una realización tridimensional no degenerada. Aquí, politopo abstracto es el conjunto de sus caras que satisfacen varias condiciones, una realización es una función desde sus vértices a algún espacio, y la realización se llama no degenerada si dos caras distintas del politopo abstracto tienen realizaciones distintas.

Algunas de las formas en que pueden dar lugar a poliedros degenerados son las siguientes:

  • Caras ocultas. Algunos poliedros tienen caras que están ocultas, en el sentido de que ningún punto de su interior puede verse desde el exterior. Por lo general, estos no se cuentan como poliedros uniformes.
  • Compuestos degenerados. Algunos poliedros tienen múltiples aristas y sus caras son las caras de dos o más poliedros, aunque estos no son compuestos en el sentido anterior, ya que los poliedros comparten aristas.
  • Recubrimientos duplicados. Existen algunos poliedros no orientables que tienen recubrimientos duplicados que satisfacen la definición de un poliedro uniforme. Hay recubrimientos dobles con caras, aristas y vértices duplicados.Por lo general, no se cuentan como poliedros uniformes.
  • Caras dobles. Hay varios poliedros con caras dobles producidos por la construcción de Wythoff. La mayoría de los autores no permiten la presencia de caras dobles y las eliminan como parte de la construcción.
  • Aristas dobles. La figura de Skilling tiene la propiedad de que posee aristas dobles (como en los poliedros uniformes degenerados) pero sus caras no se pueden considerar como la unión de dos poliedros uniformes.

HistoriaEditar

Poliedros convexos regularesEditar

Poliedros convexos uniformes no regularesEditar

Ioanniskepplerih00kepl 0088 crop.jpg
Ioanniskepplerih00kepl 0086 crop.jpg
Los sólidos arquimedianos, por Johannes Kepler

Poliedros estrellados regularesEditar

Otros 53 poliedros estrellados no regularesEditar

  • De los 53 restantes, Edmund Hess (1878) descubrió dos, Albert Badoureau (1881) descubrió 36 más y Pitsch (1881) descubrió de forma independiente 18 más, de los cuales 3 no habían sido descubiertos previamente. Conjuntamente, estos tres autores identificaron 41 poliedros.
  • El geómetra H.S.M. Coxeter descubrió los doce restantes en colaboración con J. C. P. Miller (1930-1932) pero no los publicó. M.S. Longuet-Higgins y H.C. Longuet-Higgins descubrieron de forma independiente once de estos sólidos. Lesavre y Mercier redescubrieron cinco de ellos en 1947.
  • Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954) publicó la lista de poliedros uniformes.
  • Sopov (1970) demostró su conjetura de que la lista estaba completa.
  • En 1974, Magnus Wenninger publicó su libro Polyhedron models, que enumera los 75 poliedros uniformes no prismáticos, con muchos nombres inéditos que les dio Norman Johnson.
  • Skilling (1975) demostró de forma independiente la integridad del conjunto, y demostró que si la definición de poliedro uniforme se relaja para permitir que las aristas coincidan, solo hay una posibilidad adicional.
  • En 1987, Edmond Bonan dibujó todos los poliedros uniformes y sus duales en 3D utilizando un programa compilado en Turbo Pascal denominado Polyca: muchos de ellos se mostraron durante el Congreso de la Unión Estereoscópica Internacional celebrado en el Congress Theatre, de Eastbourne, United Reino.[7]
  • En 1993, Zvi Har'El produjo una construcción caleidoscópica completa de los poliedros uniformes y duales con un programa de computadora llamado Kaleido, resumido en un documento titulado Solución uniforme para poliedros uniformes, numerando las figuras del 1 al 80.[8]
  • También en 1993, R. Mäder portó esta solución de Kaleido a Mathematica con un sistema de indexación ligeramente diferente.[9]
  • En 2002 Peter W. Messer descubrió un conjunto mínimo de expresiones de forma cerrada para determinar las principales cantidades combinatorias y métricas de cualquier poliedro uniforme (y de su dual) a partir únicamente de su símbolo de Wythoff.[10][11]

Poliedros estrellados uniformesEditar

El gran dirhombicosidodecaedro, el único poliedro uniforme no wythoffiano

Las 57 formas no prismáticas no convexas, con la excepción del gran dirhombicosidodecaedro, son compiladas por construcciones de Wythoff dentro de los triángulos de Schwarz.

Construcción de formas convexas de WythoffEditar

Wythoffian construction diagram.svg
Polyhedron truncation example3 es.png

Los poliedros uniformes convexos se pueden nombrar mediante operaciones de construcción de Wythoff sobre una forma regular. Para más detalle, más adelante se dan los poliedros uniformes convexos por su construcción de Wythoff dentro de cada grupo de simetría.

Dentro de la construcción de Wythoff, hay repeticiones creadas por formas de simetría más baja. El cubo es un poliedro regular y un prisma cuadrado. El octaedro es un poliedro regular y un antiprisma triangular. El octaedro también es un tetraedro rectificado. Muchos poliedros se repiten a partir de diferentes fuentes de construcción y están coloreados de manera diferente.

La construcción de Wythoff se aplica igualmente a poliedros uniformes y teselados uniformes en la superficie de una esfera, por lo que se dan imágenes de ambos. Los mosaicos esféricos incluyen el conjunto del hosoedro y del diedro, que son poliedros degenerados.

Estos grupos de simetría se forman a partir de los grupos de puntos en tres dimensiones reflexivos, cada uno representado por un triángulo fundamental (p q r), donde p > 1, q > 1, r > 1 y 1/p + 1/q + 1/r < 1.

  • Simetría tetraédrica (3 3 2) - orden 24
  • Simetría octaédrica (4 3 2) - orden 48
  • Simetría icosaédrica (5 3 2) - orden 120
  • Grupo diedral (n 2 2), para n = 3, 4, 5, ... - orden 4n

Las formas no reflexivas restantes se construyen mediante operaciones de alternación aplicadas a los poliedros con un número par de lados.

Junto con los prismas y su grupo diedral, el proceso de construcción esférico de Wythoff agrega dos clases regulares que se degeneran como poliedros: el diedro y el hosoedro, el primero con solo dos caras, y el segundo con solo dos vértices. El truncamiento del hosoedro regular crea los prismas.

Debajo de los poliedros uniformes convexos se indexan de 1 a 18 las formas no prismáticas, que se presentan en las tablas por forma de simetría.

Para el conjunto infinito de formas prismáticas, están indexadas en cuatro familias:

  1. Hosoedros H2... (solo como teselados esféricos)
  2. Diedros D2... (solo como teselados esféricos)
  3. Prismas P3... (hosoedros truncados)
  4. Antiprismas A3... (prismas achatados o romos)

Tablas resumenEditar

Nombre de Johnson Relacionado Truncado Rectificado Bitruncado
(tr. dual)
Birrectificado
(dual)
Canteado Omnitruncado
(cantitruncado)
Romo
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png
Símbolo de Schläfli
extendido
{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q} 2r{p,q} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} ht0,1,2{p,q}
Símbolo de Wythoff
(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Configuración de vértices pq q.2p.2p (p.q)2 p.2q.2q qp p.4.q.4 4.2p.2q 3.3.p.3.q
Simetría Tetraédrica
(3 3 2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t1.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t2.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t02.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-33-t012.png
4.6.6
Uniform polyhedron-33-s012.svg
3.3.3.3.3
Simetría Otaédrica
(4 3 2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg
4.4.4
Uniform polyhedron-43-t01.svg
3.8.8
Uniform polyhedron-43-t1.svg
3.4.3.4
Uniform polyhedron-43-t12.svg
4.6.6
Uniform polyhedron-43-t2.svg
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8
Uniform polyhedron-43-s012.png
3.3.3.3.4
Simetría Icosaédrica
(5 3 2)
Uniform polyhedron-53-t0.svg
5.5.5
Uniform polyhedron-53-t01.svg
3.10.10
Uniform polyhedron-53-t1.svg
3.5.3.5
Uniform polyhedron-53-t12.svg
5.6.6
Uniform polyhedron-53-t2.svg
3.3.3.3.3
Uniform polyhedron-53-t02.png
3.4.5.4
Uniform polyhedron-53-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-53-s012.png
3.3.3.3.5

Muestra de simetrías diédricas:

(La esfera no se corta, solo se corta el teselado). (En una esfera, una arista es el arco de un círculo máximo, el camino más corto, entre sus dos vértices. Por lo tanto, un digóno cuyos vértices no están opuestos polarmente es plano: parece una arista)

(p 2 2) Relacionado Truncado Rectificado Bitruncado
(tr. dual)
Birrectificado
(dual)
Canteado Omnitruncado
(cantitruncado)
Romo
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Símbolo de Schläfli
extendido
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
Símbolo de Wythoff 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Vertex figure p2 2.2p.2p p.2.p.2 p.4.4 2p p.4.2.4 4.2p.4 3.3.3.p
Diedral
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.4
Digonal dihedron.png
2.2.2.2
Tetragonal dihedron.png
4.4.2
Digonal dihedron.png
2.2
Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism2.png
4.4.4
Spherical digonal antiprism.png
3.3.3.2
Diedral
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
3.3
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Trigonal dihedron.png
2.3.2.3
Spherical triangular prism.png
4.4.3
Spherical trigonal hosohedron.png
2.2.2
Spherical triangular prism.png
2.4.3.4
Spherical hexagonal prism2.png
4.4.6
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3
Diedral
(4 2 2)
Tetragonal dihedron.png
4.4
2.8.8 Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism.png
4.4.4
Spherical square hosohedron.png
2.2.2.2
Spherical square prism.png
2.4.4.4
Spherical octagonal prism2.png
4.4.8
Spherical square antiprism.png
3.3.3.4
Diedral
(5 2 2)
Pentagonal dihedron.png
5.5
2.10.10 Pentagonal dihedron.png
2.5.2.5
Spherical pentagonal prism.png
4.4.5
Spherical pentagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2
Spherical pentagonal prism.png
2.4.5.4
Spherical decagonal prism2.png
4.4.10
Spherical pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
Diedral
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
6.6
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Spherical hexagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2.2
Spherical hexagonal prism.png
2.4.6.4
Spherical dodecagonal prism2.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

Simetría tetraédrica (3 3 2) TdEditar

La simetría tetraédrica de la esfera genera 5 poliedros uniformes y una sexta forma mediante una operación de suavizado (poliedro romo).

La simetría tetraédrica está representada por un triángulo fundamental con un vértice con dos simetrías de reflexión y dos vértices con tres simetrías de reflexión, representado por el símbolo (3 3 2). También puede estar representado por el grupo de Coxeter A2 o [3,3], así como por el diagrama de Coxeter-Dynkin: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Hay 24 triángulos, visibles en las caras del tetraquishexaedro y en los triángulos de la esfera coloreados alternativamente:

Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.pngSphere symmetry group td.png
# Nombre Grafo
A3
Grafo
A2
Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Caras Aristas Vértices
1 Tetraedro 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] Birectified tetrahedron
(same as tetraedro)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 Rectified tetrahedron
Tetratetraedro
(como un octaedro)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}=r{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 Tetraedro truncado 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] Tetraedro bitruncado
(como un tetraedro truncado)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 Tetraedro canteado
Rombitetratetraedro
(como un cuboctaedro)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}=rr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 Tetraedro omnitruncado
Tetratetraedro truncado
(como un octaedro truncado)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}=tr{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 Tetratetraedro achatado
(como un icosaedro)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.svg Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

Simetría octaédrica (4 3 2) OhEditar

La simetría octaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y 7 más por alternancia. Seis de estas formas se repiten de la tabla de simetría tetraédrica anterior.

La simetría octaédrica está representada por un triángulo fundamental (4 3 2) contando las reflexiones en cada vértice. También se puede representar con el grupo de Coxeter B2 o [4,3], así como con el diagrama de Coxeter-Dynkin: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Hay 48 triángulos, visibles en las caras del hexaquisoctaedro y en los triángulos de colores alternados en una esfera:

Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.pngSphere symmetry group oh.png
# Nombre Grafo
B3
Grafo
B2
Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(6)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(12)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(8)
Caras Aristas Vértices
7 Cubo 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] Octaedro 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] Cubo rectificado
Octaedro rectificado
(Cuboctaedro)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 Cubo truncado 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}=t{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] Octaedro truncado 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}=t{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 Cubo canteado
Octaedro canteado
Rombicuboctaedro
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}=rr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
26 48 24
10 Cubo omnitruncado
Octaedro omnitruncado
Cuboctaedro truncado
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}=tr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] Octaedro achatado
(como un icosaedro)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.svg Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
s{3,4}=sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] Semicubo
(como un tetraedro)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
h{4,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
[2] Cubo canteado
(como un tetraedro truncado)
3-simplex t01 A2.svg 3-simplex t01.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
1/2 {6}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
8 18 12
[4] (como un cuboctaedro) 3-simplex t02 A2.svg 3-simplex t02.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
rr{3,3}
14 24 12
[5] (como un octaedro truncado) 3-simplex t012 A2.svg 3-simplex t012.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}
14 36 24
[9] Octaedro achatado canteado
(como un rombicuboctaedro)
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 Cuboctaedro achatado Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

Simetría icosaédrica (5 3 2) IhEditar

La simetría icosaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y 1 más por alternancia. Solo uno se repite de la tabla de simetría tetraédrica y octaédrica anterior.

La simetría icosaédrica está representada por un triángulo fundamental (5 3 2) contando las reflexiones en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter G2 o [5,3], así como por un diagrama de Coxeter-Dynkin: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Hay 120 triángulos, visibles en las caras del hexaquisicosaedro y en los triángulos de colores alternados en una esfera:

Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.pngSphere symmetry group ih.png
# Nombre Grafo
(A2)
[6]
Grafo
(H3)
[10]
Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
Caras Aristas Vértices
12 Dodecaedro Dodecahedron A2 projection.svg Dodecahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t0.svg Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] Icosaedro Icosahedron A2 projection.svg Icosahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t2.svg Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 Rectified dodecahedron
Icosaedro rectificado
Icosidodecaedro
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}=r{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 Dodecaedro truncado Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.svg Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3}=t{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 Icosaedro truncado Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,5}=t{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 Cantellated dodecahedron
Icosaedro canteado
Rombicosidodecaedro
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{5,3}=rr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 Omnitruncated dodecahedron
Icosaedro omnitruncado
Icosidodecaedro truncado
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}=tr{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 Icosidodecaedro achatado Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

Simetría diédrica Dph: (p 2 2) prismática [p, 2] y familia I2(p)Editar

El grupo diedral de la esfera genera dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes (prismas y antiprismas,) y dos conjuntos infinitos más de poliedros degenerados, el hosoedro y el diedro que existen como teselas en la esfera.

La simetría diédrica o diedral está representada por un triángulo fundamental (p 2 2) contando las reflexiones en cada vértice. También puede estar representado por el grupo de Coxeter I2 (p) o [n, 2], así como por un diagrama de Coxeter-Dynkin prismático: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

A continuación se muestran las primeras cinco simetrías diédricas: D2 ... D6. La simetría diedral Dp tiene orden 4n, representa las caras de una bipirámide, y en la esfera como una línea del ecuador y n líneas de longitud igualmente espaciadas.

(2 2 2) Simetría diédricaEditar

Hay 8 triángulos fundamentales, visibles en las caras del octaedro y en los triángulos de colores alternados en una esfera:

Octahedron.jpg Sphere symmetry group d2h.png
# Nombre Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
[2]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Caras Aristas Vértices
D2
H2
Diedro digonal,
Hosoedro digonal
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 Diedro digonal truncado
(como un diedro cuadrado)
Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t {2.2} = {4.2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
P4
[7]
Diedro digonal omnitruncado
(como un cubo)
Uniform polyhedron 222-t012.png Spherical square prism2.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2 {2,2} = tr {2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
A2
[1]
Diedro digonal achatado
(como un tetraedro)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr {2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4

Simetría diédrica (3 2 2) D3hEditar

Hay 12 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide hexagonal y como triángulos de colores alternados en una esfera:

Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png
# Nombre Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Caras Aristas Vértices
D3 Diedro trigonal Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 Hosoedro trigonal Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 Diedro trigonal truncado
(como un diedro hexagonal)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 Hosoedro trigonal truncado
(Prisma triangular)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
5 9 6
P6 Diedro trigonal omnitruncado
(Prisma hexagonal)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}=tr{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
A3
[2]
Diedro trigonal achatado
(como un antiprisma triangular)
(como un octaedro)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6
P3 Diedro trigonal achatado canteado
(Prisma triangular)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6

Simetría diédrica (4 2 2) D4hEditar

Hay 16 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide octogonal y en los triángulos de colores alternados en una esfera:

Octagonal bipyramid.png
# Nombre Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Caras Aristas Vértices
D4 Diedro cuadrado Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
H4 Hosoedro cuadrado Spherical square hosohedron.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 Diedro cuadrado truncado
(como un diedro octogonal)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
Hosoedro cuadrado truncado
(Cubo)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 Diedro cuadrado omnitruncado
(Prisma octogonal)
Octagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,4}=tr{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
10 24 16
A4 Diedro cuadrado achatado
(Antiprisma cuadrado)
Square antiprism.png Spherical square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Diedro cuadrado achatado canteado
(Cubo)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
Hosoedro cuadrado achatado
(Disfenoide)
(Tetraedro)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4

Simetría diédrica (5 2 2) D5hEditar

Hay 20 triángulos fundamentales, visibles en las caras de una bipirámide decagonal y en los triángulos de colores alternados en una esfera:

Decagonal bipyramid.png
# Nombre Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Caras Aristas Vértices
D5 Diedro pentagonal Pentagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 Hosoedro pentagonal Spherical pentagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 Diedro pentagonal truncado
(como un diedro decagonal)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 Hosoedro pentagonal truncado
(como un prisma pentagonal)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
7 15 10
P10 Diedro pentagonal omnitruncado
(Prisma decagonal)
Decagonal prism.png Spherical decagonal prism2.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,5}=tr{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
12 30 20
A5 Diedro pentagonal achatado
(Antiprisma pentagonal)
Pentagonal antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10
P5 Diedro pentagonal achatado canteado
(Prisma pentagonal)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10

Simetría diédrica (6 2 2) D6hEditar

Hay 24 triángulos fundamentales, visibles en las caras de una bipirámide dodecagonal y en los triángulos de colores alternados de una esfera.

# Nombre Imagen Teselado Figura de
vértice
Símbolos
de Coxeter
y de Schläfli
Número de caras por posición Número de elementos
Pos. 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Caras Aristas Vértices
D6 Diedro hexagonal Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 Hosoedro hexagonal Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 Diedro hexagonal truncado
(como un diedro dodecagonal)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 Hosoedro hexagonal truncado
(como un prisma hexagonal)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
P12 Diedro hexagonal omnitruncado
(Prisma dodecagonal)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,6}=tr{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
14 36 24
A6 Diedro hexagonal achatado
(Antiprisma hexagonal)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12
P3 Diedro hexagonal canteado
(Prisma triangular)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Diedro hexagonal achatado canteado
(Prisma hexagonal)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
Hosoedro hexagonal achatado
(como un antiprisma triangular)
(como un octaedro)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

Operadores de construcción de WythoffEditar

Operación Símbolo Diagrama
de Coxeter
Descripción
Relacionado {p,q}
t0{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Any regular polyhedron or tiling
Rectificado (r) r{p,q}
t1{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Las aristas originales están completamente truncadas, convertidas en puntos únicos. El nuevo poliedro presenta caras combinadas del original y del dual. Los poliedros se nombran por el número de lados de las dos formas regulares: {p, q} y {q, p}, como el cuboctaedro r {4,3}, a medias entre un cubo y un octaedro.
Birrectificado (2r)
(también conjugado o dual)
2r{p,q}
t2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.jpg
El birectificado (dual) es un truncamiento adicional, de forma que las caras originales se reduzcan a puntos. Se forman nuevas caras debajo de cada vértice original. El número de aristas no cambia, pero se gira 90 grados. Una birrectificación puede verse como el poliedro dual.
Truncado (t) t{p,q}
t0,1{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Cada vértice original se corta, generando una nueva cara bajo el mismo. El truncamiento tiene un grado de libertad, con una solución que crea un poliedro truncado uniforme. El poliedro mantiene sus caras originales pero con el número de aristas duplicado y contiene las caras del dual.
Cube truncation sequence.svg
Bitruncado (2t)
(también truncado dual)
2t{p,q}
t1,2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Un bitruncado puede verse como el truncamiento del poliedro dual. Un cubo bitruncado es un octaedro truncado.
Canteado (rr)
(también expandido)
rr{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Además del truncamiento de vértices, cada arista original puede ser biselada formando nuevas caras rectangulares que aparecen en su lugar. Un canteado uniforme está a medio camino entre la forma original y la dual. Un poliedro canteado se nombra como rombi-r{p, q}, como por ejemplo, el rombicuboctaedro para rr{4,3}.
Cube cantellation sequence.svg
Canteado truncado (tr)
(también omnitruncado)
tr{p,q}
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Las operaciones de truncamiento y canteado se aplican juntas para crear una forma omnitruncada que tiene las caras del original dobladas en las aristas, las caras del dual dobladas en las aristas y cuadrados donde se situaban las aristas originales.
Operaciones de alternado
Operación Símbolo Diagrama
de Coxeter
Descripción
Rectificado achatado (sr) sr{p,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Canteados truncados alternos. Todas las caras originales terminan con la mitad de aristas y los cuadrados degeneran en aristas. Dado que las formas omnitruncadas tienen 3 caras/vértice, se forman nuevos triángulos. Por lo general, estas formas de facetas alternas se deforman ligeramente a partir de entonces para terminar nuevamente como poliedros uniformes. La posibilidad de esta última variación depende del grado de libertad.
Snubcubes in grCO es.svg
Achatado (s) s{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Truncado alternado
Achatado canteado (s2) s2{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Canteado alternado (hrr) hrr{2p,2q} CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h.png Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), alternancia de CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Por ejemplo, CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
Mitad (h) h{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Alternación de CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, igual que CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png
Canteado (h2) h2{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png igual que CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node 1.png
Mitad rectificada (hr) hr{2p,2q} CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), alternancia de CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png, igual que CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch 10lu.pngCDel labelq.png o CDel labelp.pngCDel branch 10r.pngCDel iaib.pngCDel branch 01l.pngCDel labelq.png
Por ejemplo, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png o CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes.png
Cuarto (q) q{2p,2q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h1.png Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), igual que CDel labelq.pngCDel branch 11.pngCDel papb-cross.pngCDel branch 10l.pngCDel labelq.png
Por ejamplo, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png = CDel nodes 11.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png o CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes 10l.png

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 14 de junio de 2013. 
  2. Proceedings Of The Conference In Honour Of The 90th Birthday Of Freeman Dyson. World Scientific. 2014. pp. 343 de 500. ISBN 9789814590129. Consultado el 15 de agosto de 2022. 
  3. Branko Grünbaum, 1994.
  4. Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Regular Polytopes (en inglés). páginas (3° edición). Dover, Estado de Nueva York, Bandera de Estados Unidos Estados Unidos. 
  5. Regular Polytopes, p.13
  6. Hart, George (1998). «Piero della Francesca's Polyhedra». http://www.georgehart.com/index.html (en inglés). georgehart.com. Consultado el 24 de mayo de 2021. 
  7. «Stéréo-Club Français - Galerie : Polyedres». 
  8. Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
  9. Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]
  10. Messer, Peter W. (2002). «Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals». Discrete & Computational Geometry 27: 353-375. doi:10.1007/s00454-001-0078-2. 
  11. Maeder, Roman (1993). «Uniform Polyhedra». The mathematica journal (en inglés) (Wolfram Research). Vol.3 (N.4): 48-57. Consultado el 1 de noviembre de 2014. 

BibliografíaEditar

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  • Skilling, J. (1975). «The complete set of uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 278 (1278): 111-135. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333. doi:10.1098/rsta.1975.0022. 
  • Sopov, S. P. (1970). «A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra». Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156. MR 0326550. 
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09859-5. 

Enlaces externosEditar

  • Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Solución uniforme para poliedros uniformes
  • Los poliedros uniformes
  • Poliedros virtuales Poliedros uniformes
  • Galería de poliedros uniformes
  • Poliedro uniforme - de Wolfram MathWorld Tiene un gráfico visual de los 75
Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2–10
Familia An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Polígono regular Triángulo Cuadrado p-gono Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro OctaedroCubo Demicubo DodecaedroIcosaedro
4-politopo uniforme Pentácoron HexadecacoronTeseracto Demiteseracto Icositetracoron HecatonicosacoronHexacosicoron
5-politopo uniforme 5-símplex 5-ortoplex • Penteracto 5-demicubo
6-politopo uniforme 6-símplex 6-ortoplex • Hexeracto 6-demicubo 122 • 221
7-politopo uniforme 7-símplex 7-ortoplex • Hepteracto 7-demicubo 132 • 231 • 321
8-politopo uniforme 8-símplex 8-ortoplex • Octoracto 8-demicubo 142 • 241421
9-politopo uniforme 9-símplex 9-ortoplex • Eneracto 9-demicubo
10-politopo uniforme 10-símplex 10-ortoplex • Decaracto 10-demicubo
n-politopo uniforme n-símplex n-ortoplexn-cubo n-demicubo 1k2 • 2k1 • k21 n-politopo pentagonal
Relacionados: Familias de politoposPolitopo regular • Anexo:Politopos regulares y compuestos
[]
  • Wd Datos: Q2471563
  • Commonscat Multimedia: Uniform polyhedra