Nacido y criado en Swadlincote, Bedford se inició al mundo de las motos al ver a un amigo de su padre correr en motocicletas y compitió con su propia bicicleta, una Yamaha de 400cc, a eventos nacionales. A la edad de 22 años, el propio Alex estaba compitiendo en campeonatos mundiales y europeos, habiéndose vuelto profesional después de que los jefes de la Rolls-Royce (donde trabajaba), le dieran un ultimátum.^[2]​

Alex Bedford comienza en el Gran Premio de Gran Bretaña de 1980 de 250cc, aunque siempre militaría en la cilindrada de 125 cc. Su mejor actuación sería en el Gran Premio de Suecia de 1984 en el que acabaría en sexto lugar.^[3]​ Ese mismo año tendría una actuación destacado en el Campeonato de Europa de 125 cc donde ganará en Inglaterra en Conington y terminará tercero en Suecia y Finlandia para acabar en el quinto lugar de la clasificación general.^[4]​ Pudo haber conseguido un podio en el Mundial en Gran Premio de Gran Bretaña de 1988 pero tuvo que retirarse cuando transitaba en la segunda posición.

Después de su retirada en 1989, se dedicó inicialmente a su empresa de importación de motocicletas japonesa a la vez que dirigía una empresa fabricante de llaveros. Pero años después dejó estos negocios para centrarse en la propagación de la palabra de Dios a través de su comunidad evangelista de St Georges-Tron Church.^[2]​

Sistema de puntuación desde 1969 hasta 1987:

(Carreras en negrita indica pole position; carreras en cursiva indica vuelta rápida)