Quedó huérfano de padre siendo aún niño y al contraer su madre segundas nupcias fue enviado a Yucatán a hacer sus estudios.

Realizó sus estudios primarios en la ciudad de Mérida, ingresó al Seminario de San Ildefonso en donde cursó latín, filosofía y matemáticas.^[1]​ Tuvo afición por el estudio de las obras de Calderón de la Barca, Lope de Vega y Agustín Moreto. Incursionó en el género de ensayo, sin embargo sobresalió como poeta lírico. Tuvo influencia de Manuel José Quintana, quien fue su autor predilecto.

Fue elegido diputado a la Legislatura del estado de Yucatán y posteriormente al Congreso de la Unión. En la Ciudad de México se relacionó con José Joaquín Pesado, Guillermo Prieto, Isidro Rafael Gondra, y otros poetas. A su regreso a Yucatán fue elegido por segunda ocasión diputado a la Legislatura del Estado, sin embargo, al disolverse el congreso, se dedicó a la agricultura.^[2]​

José Esquivel Pren, en su Historia de la Literatura en Yucatán reitera lo expresado por Francisco Sosa en su biografía sobre Alpuche:

Sus primeras lecturas literarias fueron las comedias de Calderón, Lope y Moreto y se propuso imitarlos. Una pieza teatral, no sabemos si comedia o drama, fue la que inició su carrera. Los amigos del poeta que, a su muerte, publicaron la única colección de sus poesías, en la breve noticia biográfica que precede ese libro, insinúan que aquella comedia, o aquel drama, obra primigenia de Alpuche, no le acreditaba favorablemente y añaden que por más esfuerzos hechos para adquirir ese primer y único ensayo dramático, no se consiguió y concluyen que Alpuche no estaría muy satisfecho de una producción de la que ni siquiera conservaba una copia en su poder, de la que nunca habló bien y que después no intentó ocuparse de nuevo en composiciones de esa especie...^[3]​

No obstante esto, Francisco Sosa, en su ensayo biográfico sobre Alpuche (1873),^[4]​ afirma que éste:

es acreedor al aprecio y al respeto de los mexicanos, no tan sólo por el claro ingenio y brillantes dotes que la naturaleza hubo de colocar en él, sino también, y acción tan meritoria demanda justo premio, porque quiso y supo emplear esas dotes en cantar a nuestra libertad y a los héroes que nos la legaron...^[3]​

Murió el 2 de septiembre en Tekax, Yucatán.

Escribió diversas odas con tintes patrióticos. Entre sus poemas y odas se encuentran "Hidalgo", "Grito de Dolores", "La independencia", "La vuelta a la patria", "La fama", "El suplicio de Morelos", Eloísa", "A una hermosa".^[5]​

• Sosa, Francisco (2006). «Alpuche, Wenceslao». Biografías de mexicanos distinguidos (4a. edición). México: Porrúa. pp. 33-37. ISBN 970-07-6667-5.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

• «Wenceslao Alpuche y Gorocica». Yucatán literario. Escritores. Consultado el 4 de junio de 2011. 
• Francisco Sosa. «Ensayo biográfico y crítico de don Wenceslao Alpuche». Colección digital de la Universidad Autónoma de Nuevo León. Consultado el 4 de junio de 2011.