En matemáticas, dados dos espacios medibles y medidas en ellos, se puede obtener un espacio medible producto y una medida producto en ese espacio. Conceptualmente, esto es similar a definir el producto cartesiano de conjuntos y la topología del producto de dos espacios topológicos, excepto que puede haber muchas opciones naturales para la medida del producto.

Dejar ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ y ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ser dos espacios medibles, es decir, ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ y ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ son álgebras sigma en ${\displaystyle X_{1}}$ y ${\displaystyle X_{2}}$ respectivamente, y dejar ${\displaystyle \mu _{1}}$ y ${\displaystyle \mu _{2}}$ Se tomarán medidas sobre estos espacios. Denotamos por ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ el álgebra sigma sobre el producto cartesiano ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ generado por subconjuntos del formulario ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$, dónde ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ y ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}.}$ Esta álgebra sigma se llama álgebra σ del producto tensorial en el espacio del producto.

Una medida de producto ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ (también denotado por ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ por muchos autores) se define como una medida en el espacio mensurable ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$ satisfacer la propiedad

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

para todos

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$ .

(Al multiplicar medidas, algunas de las cuales son infinitas, definimos que el producto es cero si algún factor es cero).

De hecho, cuando los espacios son ${\displaystyle \sigma }$ -finito, la medida del producto está definida de forma única, y para cada conjunto medible E,

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

dónde ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ y ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$, que son ambos conjuntos medibles.

La existencia de esta medida está garantizada por el teorema de Hahn-Kolmogorov. La unicidad de la medida del producto se garantiza sólo en el caso de que ambos ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ y ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ son σ-finitos.

Las medidas de Borel en el espacio euclidiano Rⁿ se pueden obtener como producto de n copias de las medidas de Borel en la recta real R.

Incluso si los dos factores del espacio del producto son espacios de medida completos, el espacio del producto puede no serlo. En consecuencia, el procedimiento de compleción es necesario para extender la medida de Borel a la medida de Lebesgue, o para extender el producto de dos medidas de Lebesgue para dar la medida de Lebesgue en el espacio del producto.

La construcción opuesta a la formación del producto de dos medidas es la desintegración, que en cierto sentido "divide" una medida determinada en una familia de medidas que pueden integrarse para dar la medida original.