Subconjunto

Summary

A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Decimos entonces que A «está contenido» dentro de B.

Diagrama de Euler mostrando que A es un subconjunto de B.
Es decir, A ⊆ B.

Definición editar

La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no.
Otras maneras de decirlo son «A está incluido en B», «B incluye a A»,etc.

Ejemplos editar

Subconjunto propio editar

Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que AB. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B A)

Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

Según el autor, A B y B A subconjunto o subconjunto propio.[1]​Sin embargo, es importante aclarar que existe una diferencia entre subconjunto y subconjunto propio, pues el subconjunto abarca la definición de subconjunto propio.

Conjunto potencia editar

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

 

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, por ejemplo |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.

Por ejemplo, dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

 

Propiedades editar

El conjunto vacío, denotado como , es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto se debe a que «todo elemento de lo es de A» significa lo mismo que « no tiene ningún elemento que esté en A», y esto es cierto sea cual sea A ya que no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entonces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

 
  y   implica  
En el diagrama,  .

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, entonces A = B.

Propiedades avanzadas editar

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A A); transitiva (A B y B C implican A C); y antisimétrica (A B y B A implican A = B).

Bibliografía editar

  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Véase también editar

Referencias editar

Enlaces externos editar

  •   Datos: Q177646
  •   Multimedia: Subsets / Q177646