La topología de ${\displaystyle X}$  se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo ${\displaystyle U}$  es un entorno de ${\displaystyle 0}$  si y solo si ${\displaystyle U\cap X_{n}}$  es un entorno absolutamente convexo de ${\displaystyle 0}$  en ${\displaystyle X_{n}}$  para cada ${\displaystyle n.}$ 

Un espacio LB estricto es completo,^[2]​ barrilado,^[2]​ y bornológico^[2]​ (y por lo tanto, ultrabornológico).

Si ${\displaystyle D}$  es un espacio topológico localmente compacto que es numerable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos), entonces el espacio ${\displaystyle C_{c}(D)}$  de todas las funciones continuas de valores complejos en ${\displaystyle D}$  con soporte compacto es un espacio LB estricto.^[3]​ Para cualquier subconjunto compacto ${\displaystyle K\subseteq D,}$  denótese por ${\displaystyle C_{c}(K)}$  el espacio de Banach de funciones de valores complejos admitidas por ${\displaystyle K}$  con la norma uniforme y ordénese la familia de subconjuntos compactos de ${\displaystyle D}$  por inclusión.^[3]​

Topología final en el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Sea

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$ 

que denota el espacio de secuencias finitas, donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$  denota todas las secuencias de números reales. Para cada número natural ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$  sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  el espacio euclídeo habitual dotado con una topología euclídea y sea ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$  la inclusión canónica definida por ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$  de modo que su imagen sea

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$ 

y consecuentemente,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ 

Dótese ahora al conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$  con la topología final ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$  inducido por la familia ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$  de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$  se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff y completo; es decir, no es un espacio de Fréchet-Urysohn.

La topología ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$  es estrictamente más fina que la topología del subespacio inducida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$  por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$  donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$  está dotada de su topología producto habitual. Dota a la imagen ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$  de la topología final inducida en ella por la función biyectiva ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ , es decir, está dotada de la topología euclídea transferida a ella desde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  a través de ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$  Esta topología en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$  es igual a la topología subespacial inducida por ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$  Un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$  está abierto (o cerrado) en ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$  si y solo si para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$  el conjunto ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$  es un subconjunto abierto (o cerrado) de ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$  La topología ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$  es coherente con la familia de subespacios ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$  Esto convierte a ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$  en un espacio LB. En consecuencia, si ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$  y ${\displaystyle v_{\bullet }}$  son una secuencia en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ , entonces ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$  en ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$  si y solo si existe algún ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  tal que tanto ${\displaystyle v}$  como ${\displaystyle v_{\bullet }}$  estén contenidos en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$  y ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$  en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ 

A menudo, para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$  se utiliza la inclusión canónica ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$  para identificar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con su imagen ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$  en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$  de forma explícita, los elementos ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$  y ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$  se identifican juntos. Bajo esta identificación, ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$  se convierte en un límite directo del sistema directo ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$  donde para cada ${\displaystyle m\leq n,}$  la aplicación ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$  es la inclusión canónica definida por ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$  donde hay ${\displaystyle n-m}$  ceros finales.

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte es no bornológico.^[4]​ Existe un espacio LB que no es cuasi completo.^[4]​

• Espacio DF
• Límite directo
• Topología final
• Espacio F
• Espacio LF

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