Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$ ^[1]​

Los espacios L^p se puede convertir en espacios F para todos los ${\displaystyle p\geq 0}$  y para ${\displaystyle p\geq 1}$  se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$  es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene espacio dual trivial.

Sea ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$  el espacio de todas las serie de Taylor con valores complejos

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$ 

en el disco unitario ${\displaystyle \mathbb {D} }$ , de modo que

${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$ 

entonces, para ${\displaystyle 0<p<1,}$ , ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$  son espacios F bajo espacios Lp:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$ 

De hecho, ${\displaystyle W_{p}}$  es un álgebra casi de Banach. Además, para cualquier ${\displaystyle \zeta }$  con ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$ , la aplicación ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$  es lineal acotada (funcional multiplicativo) en ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$ 

El teorema de la función abierta implica que si ${\displaystyle \tau {\text{and }}\tau _{2}}$  son topologías en ${\displaystyle X}$  que convierten a ${\displaystyle (X,\tau )}$  y ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$  en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, de Banach o de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{then }}\tau =\tau _{2}}$ ).^[4]​

• Una aplicación lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continua.^[5]​
• Una aplicación lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es necesariamente una aplicación abierta.^[5]​
• Una aplicación lineal casi abierta continua de un espacio F es necesariamente una aplicación abierta.^[6]​
• Una aplicación lineal continua casi abierta de un espacio F cuya imagen es exigua en el codominio es necesariamente una aplicación abierta sobreyectiva.^[5]​

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