Coseno

Summary

En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo , además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

Coseno

Gráfica de Coseno
Definición cos x
Dominio
Imagen [-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada -sen x
Función primitiva sen x + c
Función inversa arccos x

En trigonometría, el coseno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo

Si pertenece a la circunferencia de radio uno con centro se tiene:

Ya que .

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector mediante su descomposición en los vectores ortonormales y .

Cálculo por serie de potencias

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En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real   con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes,  . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

 

que en sumatorio sería:

 

En el plano complejo

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En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

 
Dada la fórmula de Euler:
 

donde   es la base del logaritmo natural, e   es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a   se tiene también que:

   

Sumando estas dos ecuaciones se tiene:

 

donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

Representación gráfica

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Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.

Relaciones trigonométricas

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El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

 
Por inducción ya que aplicando un número par de veces   se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

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La curva del coseno es la curva del seno desplazada   a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

 

Coseno de la suma de dos ángulos

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La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Coseno del ángulo doble

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Como:
   

Bastará con el cambio  

Coseno del ángulo mitad

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Usando las fórmulas:
  y
 

resulta:

 
 
Representación de  

y aislando  :

 

El cambio   corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

 
 

donde  .

Suma de funciones como producto

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La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Producto de funciones como suma

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Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

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Ángulos en Rad (X) Ángulos en Grados (X°) Cos(X)
  30°  
  45°  
  60°  
  90°  
  180°  
  360°  

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.


Derivada del coseno

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Generalizaciones del coseno

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Véase también

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Enlaces externos

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  •   Datos: Q1256164
  •   Multimedia: Cosine function / Q1256164