Alejandra era la segunda hija mayor del príncipe heredero Ernesto Augusto de Hannover (1845-1923) y la princesa Thyra de Dinamarca (1853-1933), la hija menor de Cristián IX de Dinamarca (1818-1906) y Luisa de Hesse-Kassel (1817-1898). Alejandra era una tataranieta de Jorge III del Reino Unido (1738-1820) y Carlota de Mecklemburgo-Strelitz (1744-1818).

Alejandra se casó el 7 de junio de 1904 en Gmunden, Austria-Hungría, con Federico Francisco IV, Gran Duque de Mecklemburgo-Schwerin (1882-1945), hijo del Gran Duque Federico Francisco III de Mecklemburgo-Schwerin y su esposa la Gran Duquesa Anastasia Mikáilovna de Rusia. Alejandra y Federico Francisco tuvieron cinco hijos:

• Gran Duque Heredero Federico Francisco de Mecklemburgo-Schwerin (22 de abril de 1910 - 31 de julio de 2001), casado con Karin Elisabeth von Schaper, hija de Walter von Schaper y su esposa la baronesa Louise von Münchhausen. La pareja no tuvo descendencia.
• Duque Cristián Luis de Mecklemburgo (29 de septiembre de 1912 - 18 de julio de 1996), casado con la princesa Bárbara de Prusia, hija del príncipe Segismundo de Prusia y la princesa Carlota Inés de Sajonia-Altenburgo. La pareja tuvo descendencia.
• Duquesa Olga de Mecklemburgo-Schwerin (1916-1917).
• Duquesa Thyra de Mecklemburgo-Schwerin (18 de junio de 1919 - 27 de septiembre de 1981).
• Duquesa Anastasia de Mecklemburgo-Schwerin (11 de noviembre de 1923 - 25 de enero de 1979), casada con el príncipe Federico Fernando de Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg, hijo del príncipe Alberto de Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg y la Condesa Ortrudis de Ysenburg y Büdingen. La pareja tuvo descendencia.

En 1913, estalló un incendio en el Castillo de Schwerin mientras el duque, la duquesa y los invitados estaban cenando ahí.^[1]​ Todos pudieron salir de forma segura, aunque el duque y la duquesa aparentemente escaparon a través de las chispas. Se reportaron $750.000 en daños, entre los cuales incontables obras de arte, así como importantes habitaciones quedaron totalmente destruidas. Algunos informes culparon del fuego a un sirviente vengativo, aunque un anuncio oficial de la corte afirmó que fue una asunto meramente eléctrico.^[1]​