Su nombre de nacimiento es Steve Walter,^[2]​ comenzó a jugar al rugby a los 15 años en la escuela secundaria y en el club Northampton Old Scouts, donde fue compañero de Ben Cohen. Su alto nivel le permitió ser reclutado por los Northampton Saints y allí el entonces dirigente Ian McGeechan lo convirtió de octavo a hooker.^[2]​

Después de retirarse trabajó en la televisión como analista de ESPN Scrum (Reino Unido) y fue embajador de la Fundación Infantil Christina Noble y de la empresa de servicios Transguard.^[3]​^[4]​ Actualmente vive en Dubái, ciudad de los Emiratos Árabes Unidos, donde trabaja en OSN.^[5]​

Debutó como profesional en la temporada 1996–97, siendo suplente del argentino Federico Méndez y jugó en la final de la Copa Heineken 1999–00, triunfando contra Munster Rugby.^[6]​

Al finalizar la temporada 2006-07 anunció su retiro debido a una lesión en el cuello que había sufrido contra Biarritz, durante el último partido de la fase de grupos de esa Copa Heineken, en enero y se unió al Club Athlétique Brive-Corrèze de Francia como entrenador asistente.^[7]​

Finalmente se recuperó de su lesión y el personal médico le permitió volver a jugar, debutando con Brive por la European Challenge Cup en noviembre de 2007 y jugando ante Connacht Rugby. Representó al club en tres temporadas del Top 14.^[8]​

En mayo de 2010 acordó un contrato de dos años con Leeds Tykes, por pedido del entrenador Neil Back; su excompañero en la selección.^[9]​ Leeds descendió esa temporada, habilitando la cláusula de recisión y Thompson se unió a los Wasps RFC por un contrato de 3 años.^[10]​ Sin embargo, en diciembre de 2011 tuvo que retirarse luego de una grave lesión de cuello que requirió cirugía para aliviar los síntomas de entumecimiento y mareos.^[11]​

En 1999 fue seleccionado a los England Saxons. En 2001 el técnico Clive Woodward lo convocó a la Rosa para las pruebas de mitad de año, pero no jugó y recién debutó en el Torneo de las Seis Naciones 2002; en la victoria contra el XV del Cardo.^[12]​

Anotó su primer try en el Seis Naciones 2003, frente a la Azzurri e Inglaterra ganó el torneo con un Grand Slam.^[13]​ En junio Thompson demostró un inmenso nivel ante los All Blacks y los Wallabies, ambas fueron victorias inglesas.^[14]​^[15]​

Andy Robinson lo tuvo en cuenta, pero no así Brian Ashton quien jamás lo convocó y recién regresó en mayo de 2009; ya bajo la dirección técnica de su excompañero Martin Johnson. Volvió a jugar contra los Barbarians y Argentina a fin de ese año.^[16]​

En el Seis Naciones 2011 anotó el único try inglés contra el XV de Irlanda, derrota que les negó la Triple Corona, e Inglaterra ganó el torneo.^[17]​

Woodward lo convocó a Australia 2003 como titular indiscutido. Formó junto a Trevor Woodman y Phil Vickery, anotó un try contra Georgia y se consagró campeón.^[18]​

Johnson lo llevó a Nueva Zelanda 2011 también como titular indiscutido y formó con Matt Stevens y Dan Cole la primera línea. Tras el fracaso, fue uno de los pocos que no recibió críticas y se retiró de la selección.

En 2005 Woodward lo seleccionó a los Leones Británicos e Irlandeses para disputar la gira a Nueva Zelanda y fue suplente del irlandés Shane Byrne. Jugó la despedida contra los Pumas y en dos de las tres pruebas ante los All Blacks (titular en la segunda).^[19]​

Nunca jugó con un casco de rugby, en diciembre de 2020 reveló públicamente que le habían diagnosticado demencia temprana producto de encefalopatía traumática crónica y esta fue causada por los repetidos golpes en la cabeza. Dijo que no recuerda nada de haber ganado la Copa Mundial de 2003, a veces olvida el nombre de su esposa, no volvería a jugar y no le gustaría que su hijo lo haga «si el rugby sigue como ahora».^[20]​

Thompson y otros siete exrugbistas menores de 45 años con ETC, siguiendo el ejemplo de los 4.500 exjugadores de fútbol americano que demandaron a la NFL, emprendieron acciones legales contra World Rugby por no protegerlos.^[20]​

En septiembre de 2021 hizo público que decidió donar su cerebro para la investigación de la ETC, ya que la enfermedad solo puede confirmarse mediante una disección post mortem del cerebro.^[21]​