Si, por ejemplo, n = 2, la regla da una expresión para la derivada segunda de un producto de dos funciones:

$${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$ 

La fórmula se puede generalizar al producto de «m» funciones diferenciables «f»₁,...,«f»_«m».

$${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$  donde la suma se extiende sobre todas las tuplas «m» (k₁, ..., k_m) de números enteros no negativos con ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ 

$${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$  son los coeficientes multinomiales. Esto es similar a la fórmula multinomial de álgebra.

La demostración de la regla general de Leibniz^[2]​^: 68–69 se procede por inducción. Sean ${\displaystyle f}$  y ${\displaystyle g}$  funciones ${\displaystyle n}$  veces diferenciables. El caso base cuando ${\displaystyle n=1}$  afirma que: $${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$  que es la regla del producto habitual y se sabe que es cierta. A continuación, supongamos que la afirmación es válida para un ${\displaystyle n\geq 1}$  fijo, es decir, que

$${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$ 

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$ 

Por lo tanto, la afirmación es válida para ${\displaystyle n+1}$ , y la demostración queda completa.

La regla de Leibniz tiene un gran parecido con el teorema binomial, y de hecho el teorema binomial se puede demostrar directamente a partir de la regla de Leibniz tomando ${\displaystyle f(x)=e^{ax}}$  y ${\displaystyle g(x)=e^{bx},}$  lo que da

${\displaystyle (a+b)^{n}e^{(a+b)x}=e^{(a+b)x}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k},}$ 

y dividiendo ambos lados por ${\displaystyle e^{(a+b)x}.}$ ^[2]​^: 69

se obtiene: :${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k},}$ 

Con la notación multiíndice para las derivadas parciales de funciones de varias variables, la regla de Leibniz se expresa de forma más general: $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$ 

Esta fórmula se puede utilizar para derivar una fórmula que calcula el símbolo de la composición de operadores diferenciales. De hecho, sean «P» y «Q» operadores diferenciales (con coeficientes que son diferenciables un número suficiente de veces) y ${\displaystyle R=P\circ Q.}$  Dado que «R» también es un operador diferencial, el símbolo de «R» viene dado por: $${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$ 

Un cálculo directo nos da ahora: $${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$$ 

Esta fórmula se conoce normalmente como fórmula de Leibniz. Se utiliza para definir la composición en el espacio de símbolos, induciendo así la estructura de anillo.

• Derivación (álgebra abstracta)
• Cálculo umbral