Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, el teorema indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$ 

donde ${\textstyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$  es un coeficiente multinomial. La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no-negativos $${\displaystyle k_{1}}$$  a $${\displaystyle k_{m}}$$ , cuya suma sea igual a n:

$${\displaystyle k_{i}\geq 0\quad /\quad k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n.}$$ 

Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de las variables $${\displaystyle x_{i}}$$  deben sumar n. Además, al igual que con el teorema del binomio, las cantidades de la forma $${\displaystyle x_{i}^{0}}$$ , se toman como iguales a 1 (incluso cuando $${\displaystyle x_{i}}$$  es igual a 0).

En el caso en que se tienen $${\displaystyle m=2}$$  variables, esta afirmación se reduce a la del Teorema del binomio:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}=\sum _{k_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{k_{1}!(n-k_{1})!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{n-k_{1}}=\sum _{k_{1}=0}^{n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{n-k_{1}}.}$ 

Consideremos el caso de $${\displaystyle m=3}$$  variables y exponente $${\displaystyle n=5}$$ . Es decir, queremos desarrollar la siguiente potencia de una suma de tres variables: ${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}}$ . El teorema del multinomio afirma que el desarrollo es de la forma:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=5}{5 \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}}}$ , donde se define cada coeficiente multinomial como: ${\displaystyle {5 \choose k_{1},k_{2},k_{3}}={\frac {5!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}}}$ .

Es decir que se tiene un sumando por cada terna de exponentes enteros no negativos ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}}$ , cuya suma sea cinco: ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+k_{3}=5}$ . Por ejemplo, los valores ${\displaystyle k_{1}=3,k_{2}=0,k_{3}=2}$ , corresponden al sumando ${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{0}x_{3}^{2}=x_{1}^{3}x_{3}^{2}}$ . El teorema del multinomio afirma que el coeficiente que multiplica a dicho sumando es: ${\displaystyle {5 \choose 3,0,2}={\frac {5!}{3!0!2!}}=10.}$ 

• Weisstein, Eric W. «Multinomial Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Teorema multinomial», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .