Sean ${\displaystyle X,Y,}$  y ${\displaystyle Z}$  espacios vectoriales topológicos localmente convexos y ${\displaystyle L:X\to Y}$  una aplicación lineal.

• ${\displaystyle L:X\to Y}$  es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$  es una aplicación abierta, donde ${\displaystyle \operatorname {Im} L,}$  la imagen de ${\displaystyle L,}$  tiene la topología subespacial inducida por ${\displaystyle Y.}$ 
  • Si ${\displaystyle S\subseteq X}$  es un subespacio de ${\displaystyle X}$ , entonces tanto la aplicación cociente ${\displaystyle X\to X/S}$  como la inyección canónica ${\displaystyle S\to X}$  son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal ${\displaystyle L:X\to Y}$  se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: ${\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$  donde ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$  define una biyección.
• El conjunto de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\to Z}$  (respectivamente, operadores bilineales continuos ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ) se denotará por ${\displaystyle L(X;Z)}$  (respectivamente, ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ), donde si ${\displaystyle Z}$  es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir ${\displaystyle L(X)}$  (respectivamente, ${\displaystyle B(X,Y)}$ ).
• Se denota el espacio dual de ${\displaystyle X}$  por ${\displaystyle X^{\prime }}$  y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en ${\displaystyle X,}$  sean continuos o no) por ${\displaystyle X^{\#}.}$ 
  • Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de ${\displaystyle X^{\prime }}$  con una comilla después del símbolo (por ejemplo, ${\displaystyle x^{\prime }}$  denota un elemento de ${\displaystyle X^{\prime }}$  (no confundir con una derivada) y las variables ${\displaystyle x}$  y ${\displaystyle x^{\prime }}$  no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
• Una aplicación lineal ${\displaystyle L:H\to H}$  desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si ${\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0}$  para cada ${\displaystyle x\in H.}$  En este caso, existe una aplicación positiva única ${\displaystyle r:H\to H,}$  llamada raíz cuadrada de ${\displaystyle L,}$  tal que ${\displaystyle L=r\circ r.}$ ^[2]​
  • Si ${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$  es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces ${\displaystyle L^{*}\circ L}$  es siempre positivo. Ahora, denótese como ${\displaystyle R:H\to H}$  su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de ${\displaystyle L.}$  Defínase ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$  primero en ${\displaystyle \operatorname {Im} R}$  configurando ${\displaystyle U(x)=L(x)}$  para ${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$  y extendiendo ${\displaystyle U}$  continuamente a ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},}$  y luego definir ${\displaystyle U}$  en ${\displaystyle \operatorname {ker} R}$  configurando ${\displaystyle U(x)=0}$  para ${\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}$  y extender esta aplicación linealmente a todo ${\displaystyle H_{1}.}$  La aplicación ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$  es una isometría sobreyectiva y ${\displaystyle L=U\circ R.}$ 
• Un aplicación lineal ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$  se llama compacta o completamente continua si existe un entorno ${\displaystyle U}$  del origen en ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle \Lambda (U)}$  es precompacta en ${\displaystyle Y.}$ ^[3]​
  • En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como ${\displaystyle L:H\to H}$ , tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:^[4]​

Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, ${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$  y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero ${\displaystyle V_{i}}$  de ${\displaystyle H}$  (${\displaystyle i=1,2,\ldots }$ ) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios ${\displaystyle V_{i}}$  son ortogonales por pares; (2) para cada ${\displaystyle i}$  y cada ${\displaystyle x\in V_{i},}$  ${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$ ; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por ${\displaystyle \cup _{i}V_{i}}$  es igual al núcleo de ${\displaystyle L.}$ ^[4]​

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$  denota la topología más gruesa en ${\displaystyle X}$ , lo que hace que cada aplicación en ${\displaystyle X^{\prime }}$  sea continua y ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$  o ${\displaystyle X_{\sigma }}$  denota el espacio ${\displaystyle X}$  dotado con esta topología.
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$  denota la topología *débil sobre ${\displaystyle X^{\prime }}$  y ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$  o ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$  denota ${\displaystyle X^{\prime }}$  dotado con esta topología.
  • Cada ${\displaystyle x_{0}\in X}$  induce una aplicación ${\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }$  definida por ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}$  ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$  es la topología más burda de ${\displaystyle X^{\prime }}$ , lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$  denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X}$  y ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$  o ${\displaystyle X_{b}}$  denota ${\displaystyle X}$  dotado con esta topología.
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$  denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X^{\prime }}$  o la topología dual fuerte en ${\displaystyle X^{\prime }}$  y ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$  o ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  denota ${\displaystyle X^{\prime }}$  dotado con esta topología.
  • Como es habitual, si ${\displaystyle X^{\prime }}$  se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ 

Supóngase que ${\displaystyle Z}$  es un espacio localmente convexo y que ${\displaystyle I}$  es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$  dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de ${\displaystyle X\otimes Y\to Z.}$ ^[1]​. Entonces, cuando el dominio de ${\displaystyle I}$  está restringido a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$  (el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio ${\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}$  de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.}$  En particular, el espacio dual continuo de ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$  es canónicamente isomorfo al espacio ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}$  (el espacio de formas bilineales continuas separadas en ${\displaystyle X\times Y}$ ).

Si ${\displaystyle \tau }$  es una topología sobre un EVT localmente convexa en ${\displaystyle X\otimes Y}$  (${\displaystyle X\otimes Y}$  con esta topología se indicará como ${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}$ ), entonces ${\displaystyle \tau }$  es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:^[5]​

Para cada EVT localmente convexo ${\displaystyle Z,}$  si ${\displaystyle I}$  es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$  dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de ${\displaystyle X\otimes Y\to Z,}$  entonces cuando el dominio de ${\displaystyle I}$  está restringido a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$  (espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio ${\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}$  de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}$ 

• Espacio normado auxiliar
• Topología inicial
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear
• Espacio nuclear
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensorial topológico

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773. 
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156. 
• Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788. 
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822. 
• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061. 
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541. 
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158. 

• Espacio nuclear en ncatlab