En este artículo, ${\displaystyle X}$  será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y ${\displaystyle D}$  será un disco en ${\displaystyle X.}$ 

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$  de ${\displaystyle X,}$  el Funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$  se define por:

• Si ${\displaystyle D=\varnothing }$ , entonces define ${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$  como la aplicación trivial ${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$ ^[2]​ y se asumirá que ${\displaystyle \operatorname {expan} \varnothing =\{0\}.}$ ^{[note 1]}​
• Si ${\displaystyle D\neq \varnothing }$  y si ${\displaystyle D}$  es absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ , entonces denota el funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$  en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$  por

${\displaystyle p_{D}:\operatorname {expan} D\to [0,\infty )}$ 

donde para todos los ${\displaystyle x\in \operatorname {expan} D,}$  esto se define por :${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$ 

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$  de ${\displaystyle X}$  tal que el ${\displaystyle p_{D}}$  funcional de Minkowski sea una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$  denótese por ${\displaystyle X_{D}}$ 

${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$ 

que se denomina seminorma inducida por ${\displaystyle D,}$  donde si ${\displaystyle p_{D}}$  es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por ${\displaystyle D.}$ 

Supuesto (Topología): ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {expan} D}$  está dotado de la topología de la seminorma inducida por ${\displaystyle p_{D},}$  que se denotará por ${\displaystyle \tau _{D}}$  o ${\displaystyle \tau _{p_{D}}.}$ 

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto ${\displaystyle D,}$  la estructura algebraica de ${\displaystyle X,}$  y la topología habitual en ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (ya que ${\displaystyle p_{D}}$  se define usando solo el conjunto ${\displaystyle D}$  y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$  se denomina "aplicación canónica".^[1]​

Supóngase que ${\displaystyle D}$  es un disco. Entonces, ${\textstyle \operatorname {expan} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$  para que ${\displaystyle D}$  sea absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$  el sistema generador de ${\displaystyle D.}$  El conjunto ${\displaystyle \{rD:r>0\}}$  de todos los múltiplos escalares positivos de ${\displaystyle D}$  forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo ${\displaystyle \tau _{D}}$  en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$  El funcional de Minkowski del disco ${\displaystyle D}$  en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$  garantiza que ${\displaystyle p_{D}}$  esté bien definido y forme una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$ ^[3]​ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología ${\displaystyle \tau _{D}}$  que se definió anteriormente.

Un disco acotado ${\displaystyle D}$  en un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en ${\displaystyle X.}$ 

Si se muestra que ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$  es un espacio de Banach, entonces ${\displaystyle D}$  será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga ${\displaystyle D}$  como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional ${\displaystyle p_{D}}$  de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco ${\displaystyle D}$  y de ${\displaystyle p_{D},}$  el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que ${\displaystyle X}$  pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT ${\displaystyle X}$  sea un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$  es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT ${\displaystyle X}$  que lo contiene.

Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Hausdorffsidad

El espacio ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle p_{D}}$  es una norma, lo que ocurre si y solo si ${\displaystyle D}$  no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.^[6]​ En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff ${\displaystyle X}$ , de modo que ${\displaystyle D}$  esté acotado en ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle p_{D}}$  es una norma. Un ejemplo en el que ${\displaystyle X_{D}}$  no es de Hausdorff se obtiene dejando que ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$  y dejando que ${\displaystyle D}$  sea el eje ${\displaystyle x}$ .

Convergencia de redes

Supóngase que ${\displaystyle D}$  es un disco en ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle X_{D}}$  es de Hausdorff y sea ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$  una red en ${\displaystyle X_{D}.}$  Entonces, ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$  en ${\displaystyle X_{D}}$  si y solo si existe un ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$  red de números reales tal que ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$  y ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$  para todo ${\displaystyle i}$ ; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$  para todo ${\displaystyle i.}$ 

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$ , entonces ${\displaystyle \operatorname {expan} C\subseteq \operatorname {expan} D}$  y ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$  en ${\displaystyle \operatorname {expan} C,}$  se define la siguiente aplicación lineal continua:^[5]​

Si ${\displaystyle C}$  y ${\displaystyle D}$  son discos en ${\displaystyle X}$  con ${\displaystyle C\subseteq D}$ , entonces denomínese a la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$  la "inclusión canónica" de ${\displaystyle X_{C}}$  en ${\displaystyle X_{D}.}$ 

En particular, la topología subespacial que ${\displaystyle \operatorname {expan} C}$  hereda de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  es más débil que la topología inducida por la seminorma de ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$ .^[5]​

El disco como bola unitaria cerrada

El disco ${\displaystyle D}$  es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  si y solo si ${\displaystyle D}$  es la bola unitaria cerrada de la seminorma ${\displaystyle p_{D}}$ ; esto es

${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$ 

Si ${\displaystyle D}$  es un disco en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$  y si existe una topología EVT ${\displaystyle \tau }$  en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$  tal que ${\displaystyle D}$  es un subconjunto cerrado y acotado de ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,\tau \right),}$  entonces ${\displaystyle D}$  es la bola unitaria cerrada de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  (es decir, ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$ ) (véase nota al pie para su demostración).^{[note 2]}​

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, ${\displaystyle D}$  será un disco Banach en cualquier EVT en el que ${\displaystyle D}$  esté acotado.

Tenga en cuenta que incluso si ${\displaystyle D}$  no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$  es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco ${\displaystyle K}$  que satisfaga

${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$ 

porque ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$ 

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

• Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.^[5]​
• Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.^[8]​
• La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.^[5]​

Supóngase que ${\displaystyle D}$  es un disco acotado en un EVT ${\displaystyle X.}$ 

• Si ${\displaystyle L:X\to Y}$  es una aplicación lineal continua y ${\displaystyle B\subseteq X}$  es un disco de Banach, entonces ${\displaystyle L(B)}$  es un disco de Banach y ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$  induce un isomorfismo sobre el EVT ${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$ 

Sea ${\displaystyle X}$  un EVT y ${\displaystyle D}$  sea un disco limitado en ${\displaystyle X.}$ 

Si ${\displaystyle D}$  es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff ${\displaystyle X}$ , y si ${\displaystyle T}$  es barrilado en ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle T}$  absorbe a ${\displaystyle D}$  (es decir, hay un número ${\displaystyle r>0}$  tal que ${\displaystyle D\subseteq rT.}$ ^[4]​

Si ${\displaystyle U}$  es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en ${\displaystyle X}$ , entonces la colección de todos los entornos ${\displaystyle rU,}$  donde ${\displaystyle r>0}$  abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en ${\displaystyle X.}$  Cuando ${\displaystyle X}$  tiene esta topología, se denota por ${\displaystyle X_{U}.}$  Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$  se denota por ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ , de modo que ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$  es un espacio de Hausdorff completo y ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$  es una norma en este espacio que convierte a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$  en un espacio de Banach. El polar de ${\displaystyle U,}$  ${\displaystyle U^{\circ },}$  es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en ${\displaystyle X^{\prime }}$  y, por lo tanto, es infracompleto.

Si ${\displaystyle X}$  es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado ${\displaystyle B}$  de ${\displaystyle X,}$  existe un disco ${\displaystyle D}$  acotado en ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$  y tanto ${\displaystyle X}$  como ${\displaystyle X_{D}}$  inducen la misma topología del subespacio en ${\displaystyle B.}$ ^[5]​

Supóngase que ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial topológico y ${\displaystyle V}$  es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces, ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$  es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa ${\displaystyle \tau _{V}}$  en ${\displaystyle X.}$  Esta topología de EVT ${\displaystyle \tau _{V}}$  está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por ${\displaystyle V,}$  ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$  que es una seminorma en ${\displaystyle X}$  definida por ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$  La topología ${\displaystyle \tau _{V}}$  es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle p_{V}}$  es una norma, o equivalentemente, si y solo si ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$  o equivalente, para lo cual basta que ${\displaystyle V}$  esté acotado en ${\displaystyle X.}$  La topología ${\displaystyle \tau _{V}}$  no tiene por qué ser de Hausdorff, pero ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$  sí que lo es. ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$  induce una norma sobre ${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$  donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia ${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$  elegida. El espacio normado ${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$  se denota por ${\displaystyle X_{V}}$  y su completación se denota por ${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$ 

Si además, ${\displaystyle V}$  está acotado en ${\displaystyle X}$ , entonces la seminorma ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$  es una norma, por lo que en particular, ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$  En este caso, se toma ${\displaystyle X_{V}}$  como el espacio vectorial ${\displaystyle X}$  en lugar de ${\displaystyle X/\{0\}}$ , de modo que la notación ${\displaystyle X_{V}}$  no sea ambigua (si ${\displaystyle X_{V}}$  denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).^[1]​

La topología cociente ${\displaystyle \tau _{Q}}$  en ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$  (heredada de la topología original de ${\displaystyle X}$ ) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

La aplicación canónica es la clase de equivalencia ${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$  que es continua cuando ${\displaystyle X_{V}}$  tiene la topología normal o la topología del cociente.^[1]​

Si ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  son discos radiales tales como ${\displaystyle U\subseteq V}$ , entonces ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ , por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$ , definida enviando ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$  a la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$  donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$  que se elija.^[1]​

Esta aplicación canónica tiene la norma ${\displaystyle \,\leq 1}$ ,^[1]​ y posee una extensión canónica lineal continua única a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$  que se denota por ${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$ 

Supóngase además que ${\displaystyle B\neq \varnothing }$  y ${\displaystyle C}$  son discos acotados en ${\displaystyle X}$  con ${\displaystyle B\subseteq C}$ , de modo que ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$  y la inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$  sea una aplicación lineal continua. Sean ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$  ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$  y ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$  las aplicaciones canónicas. Entonces, ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$  y ${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$ ^[1]​

Supóngase que ${\displaystyle S}$  es un disco radial acotado. Dado que ${\displaystyle S}$  es un disco acotado, si ${\displaystyle D:=S}$ , entonces se puede crear el espacio normado auxiliar ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {expan} D}$  con la norma ${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$ . Como ${\displaystyle S}$  es radial, ${\displaystyle X_{S}=X.}$  Dado que ${\displaystyle S}$  es un disco radial, si ${\displaystyle V:=S}$ , entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$  con la seminorma ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$ . Debido a que ${\displaystyle S}$  está acotado, esta seminorma es una norma y ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ , por lo que entonces ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$  Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

Supongamos que ${\displaystyle H}$  es un disco equicontinuo débilmente cerrado en ${\displaystyle X^{\prime }}$  (esto implica que ${\displaystyle H}$  es débilmente compacto) y sea

${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{for all }}h\in H\}}$ 

el polar de ${\displaystyle H.}$  Debido a que ${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$  según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo ${\displaystyle f}$  pertenece a ${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {expan} H}$  si y solo si ${\displaystyle f}$  pertenece al espacio dual continuo de ${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$  donde ${\displaystyle p_{U}}$  es el funcional de Minkowski de ${\displaystyle U}$  definido por ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$ ^[9]​

Un disco en un EVT se llama infrabornivoro^[5]​ si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada^[5]​ si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Se dice que una sucesión ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$  en un EVT ${\displaystyle X}$  es "rápidamente convergente"^[5]​ a un punto ${\displaystyle x\in X}$  si existe un disco de Banach ${\displaystyle D}$  tal que tanto ${\displaystyle x}$  como la sucesión estén (finalmente) contenidos en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$  y ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$  en ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$ 

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.^[5]​

• Espacio bornológico
• Espacio localmente convexo
• Topología inicial
• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Espacio ultrabornológico

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• Espacio nuclear en ncatlab