Los polinomios de Fibonacci están definidos por una relación de recurrencia:^[1]​

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\\1,&{\mbox{si }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2\end{cases}}}$ 

Los primeros polinomios de Fibonacci son:

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$ 

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$ 

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$ 

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$ 

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$ 

Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales:^[2]​ ${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}}$ 

Los primeros polinomios de Lucas son:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$ 

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$ 

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$ 

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$ 

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$ 

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$ 

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$ 

Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1; los números de Pell resultan de asignar un valor a F_n en x = 2. Los grados de F_n son n − 1 y el grado de L_n es n. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:^[3]​

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$ 

Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como

${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$ 

${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$ 

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades.

Primero, pueden ser definidos por los índices negativos por^[4]​

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$ 

Otras identidades incluyen:^[4]​

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$ 

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}$ 

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$ 

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$ 

Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son:^[4]​

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$ 

donde

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$ 

son las soluciones (en t) de

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$ 

Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por

${\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}$ 

Por ejemplo,^[5]​

${\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}$ 

${\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+4F_{2}(x)\,}$ 

${\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$ 

${\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}$ 

Si F (n, k) es el coeficiente de x^k en F_n(x), entonces

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$ 

entonces F(n, k) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 por 1 puede ser recubierto con dominós de 2 por 1 y de 1 por 1, de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño 1.^[1]​ Equivalentemente, F (n, k) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los números 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3) = 4, porque 5 (igual a n-1) se puede escribir con estas reglas de 4 maneras distintas: 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 2 + 1; 1 + 2 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; como una suma que involucra solo 1 y 2, con el número 1 usado 3 veces. Contando el número de veces que se usan 1 y 2 en tal suma, es evidente que F(n, k) es igual al coeficiente binomial

${\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}$ 

cuando n y k tienen paridad opuesta. Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). «§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial». Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. p. 141. ISBN 978-0-88385-333-7. 
• Philippou, Andreas N. (2001), «Fibonacci_polynomials&oldid=14185», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Philippou, Andreas N. (2001), «Lucas_polynomials&oldid=17297», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Lucas Polynomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). «Roots of Fibonacci polynomials.». Fibonacci Quarterly 11: 271-274. ISSN 0015-0517. MR 0332645. 
• Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). «Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials». Fibonacci Quarterly 12: 113. MR 0352034. 
• Ricci, Paolo Emilio (1995). «Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials». Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137-146. MR 1395332. 
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). «Some identities involving the Fibonacci Polynomials». Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR 1920571. 
• Cigler, Johann (2003). «q-Fibonacci polynomials». Fibonacci Quarterly (41): 31-40. MR 1962279. 

• OEIS sequence A162515 (Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form)
• OEIS sequence A011973 (Triangle of coefficients of Fibonacci polynomials)