La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como P(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.

Un polinomio ${\displaystyle p}$  es una expresión algebraica formada por sumas y multiplicaciones, repetidas un número finito de veces, sobre un conjunto de constantes (llamados coeficientes) y una o varias indeterminadas (también llamadas variables o incógnitas en función del contexto).

Los coeficientes se toman de un conjunto ${\displaystyle A}$  con estructura algebraica de anillo, en el cual hay dos operaciones usualmente denominadas suma y producto. Los conjuntos numéricos usuales, a excepción de los naturales, son anillos y por tanto se pueden formar polinomios con coeficientes enteros, racionales, reales y complejos. El conjunto de todos los polinomios en n indeterminadas con coeficientes en ${\displaystyle A}$  es también un anillo, denominado anillo de polinomios con n indeterminadas sobre ${\displaystyle A}$ . Este anillo se denota como ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ , y contiene al anillo inicial ${\displaystyle A}$  como subanillo, identificando cada elemento ${\displaystyle a\in A}$  con el polinomio constante ${\displaystyle p=a}$ .^[4]​

El término incógnita se suele utilizar cuando se trata de ecuaciones polinómicas, es decir, igualdades del tipo ${\displaystyle p=0}$  que solo se verifican para valores específicos de las indeterminadas, llamados soluciones de la ecuación o raíces (o ceros) del polinomio. El término variable se utiliza en el contexto de las funciones polinómicas, para denominar las cantidades de las que depende el valor de la función.

Dados ciertos elementos ${\displaystyle a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}}$  de un anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como el de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o los complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) con a_n distinto de cero y ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , entonces un polinomio ${\displaystyle p}$  de grado n en la indeterminada x es una expresión de la forma:

${\displaystyle p(x)_{}^{}=}$  ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}$ 

Un polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$ 

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el término constante o independiente y a a_n, el coeficiente principal o director. Cuando el coeficiente principal es la unidad, al polinomio se le llama mónico o normalizado.^[5]​ Un polinomio de una variable queda definido por el conjunto de sus coeficientes ordenados ${\displaystyle \left\{{a_{i}}\right\}_{i=0}^{n}}$ .

Los polinomios tienen un grado n finito, es decir, tienen un número finito de sumandos. Se puede generalizar esta idea a una serie polinómica, que es una suma de infinitos términos con coeficientes ${\displaystyle \left\{{a_{i}}\right\}_{i=0}^{\infty }}$ . Las series de Taylor son de este tipo y se usan para aproximar el valor de funciones suaves. Sin embargo, no todas las series tienen una suma definida, ya que ello depende de su convergencia. En cierto sentido, un polinomio puede considerarse como una serie con un número finito de términos no nulos.^[6]​^[7]​

Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:

(2)${\displaystyle {\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}}$ 

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}$ 

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

${\displaystyle 5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots }$ 

En detalle el último de ellos ${\displaystyle 4xy_{}^{2}z}$  es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Se define el grado de un monomio como la suma de los exponentes de las variables que la componen. El grado de un polinomio ${\displaystyle p}$  es el del monomio de mayor grado con coeficiente no nulo, y se denota por ${\displaystyle {\text{gr}}(p)}$ .

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x³+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

P(x) = 4x⁴+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.

P(x) = 2x⁵+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.

En polinomos de varias variables ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ , se define de forma análoga el grado parcial en la indeterminada ${\displaystyle x_{i}}$  como el mayor exponente con el que aparece dicha variable en cualquiera de los términos.

Cuando los coeficientes del polinomio son elementos de un dominio de integridad (como los conjuntos numéricos usuales) el grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de dichos polinomios:

(3)${\displaystyle {\text{gr}}(p\cdot q)={\text{gr}}(p)+{\text{gr}}(q)}$ 

En caso contrario se verifica la desigualdad

${\displaystyle {\text{gr}}(p\cdot q)\leq {\text{gr}}(p)+{\text{gr}}(q)}$ 

ya que puede ocurrir que los coeficientes directores de ambos polinomos sean divisores de cero y por tanto el coeficiente correspondiente al grado ${\displaystyle {\text{gr}}(p)+{\text{gr}}(q)}$  sea nulo.

Un polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero se denomina polinomio nulo y se escribe como ${\displaystyle 0}$ . El polinomio cero actúa de elemento neutro aditivo del anillo de polinomios: ${\displaystyle p+0=0+p=p}$ , para cualquier polinomio ${\displaystyle p}$ . Además, el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo da como resultado el polinomio nulo. El polinomio nulo tiene un grado indeterminado.^[8]​ No obstante, se le suele asignar por convención un grado igual a ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$  (junto con la operación ${\displaystyle \forall n:-\infty +n=-\infty }$ ), ya que es la única definición consistente con la regla para el grado del producto.^[5]​

Los términos del mismo grado se agrupan en componentes homogéneas. Se denomina polinomio homogéneo a aquel en el que todos los monomios tienen el mismo grado, es decir, que solo tiene una componente homogénea. Por ejemplo, ${\displaystyle p(x,y)=2x^{2}y+3y^{3}}$  es un polinomio homogéneo de grado 3. El polinomio ${\displaystyle q(x,y)=2x^{2}y+3y^{3}+4xy}$  tiene dos componentes homogéneas: una que es igual a ${\displaystyle p(x,y)}$  y otra de grado dos, igual a ${\displaystyle 4xy}$ .

Dados dos polinomios ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle q}$  se define la suma ${\displaystyle p+q}$  como el polinomio que se obtiene al sumar los coeficientes de los monomios semejantes de ${\displaystyle p}$  y de ${\displaystyle q}$ .^[9]​ En el caso de polinomios de una variable, si

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$  y ${\displaystyle q(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}}$ 

entonces

${\displaystyle (p+q)(x)=p(x)+q(x)=\sum _{i=0}^{k}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$ 

donde k es el mayor de los grados (m o n) de los polinomios sumandos, y donde los coeficientes que falten en cualquiera de los polinomios son de valor 0.

Para multiplicar polinomios se utiliza la propiedad distributiva para multiplicar cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio. Luego se agrupan los términos semejantes en el polinomio resultante.^[9]​

Ejemplo

Sean los polinomios: ${\displaystyle p(x)=2x^{3}+4x+1}$  y ${\displaystyle q(x)=5x^{2}+3}$ . Entonces el producto es:

Para poder realizar eficazmente la multiplicación de polinomios, se tiene que ordenar cada polinomio de forma creciente según el grado de sus términos. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

${\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}$  ${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=}$  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}$ 

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

${\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}$  ${\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}$  ${\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=}$  ${\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}$ 

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios ${\displaystyle \scriptstyle P(X)}$  y ${\displaystyle \scriptstyle Q(X)}$  y el polinomio producto ${\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}$ :

(*)${\displaystyle {\mbox{gr}}(P(x)Q(x))={\mbox{gr}}(P(x))+{\mbox{gr}}(Q(x))\,}$ 

Evaluar un polinomio ${\displaystyle p(x)}$  para ${\displaystyle x=a}$  consiste en sustituir la indeterminada ${\displaystyle x}$  por ${\displaystyle a}$  y calcular el valor resultante ${\displaystyle p(a)}$  que se obtiene al hacer las operaciones indicadas.

Por ejemplo, dado ${\displaystyle p(x)=x^{4}+2x^{3}-7x^{2}-8x+12}$  su valor para ${\displaystyle x=3}$  será:

${\displaystyle p(3)=3^{4}+2\cdot 3^{3}-7\cdot 3^{2}-8\cdot 3+12=60}$ .

Si ${\displaystyle p(x)}$  es un polinomio con coeficientes en un anillo ${\displaystyle A}$ , la evaluación de ${\displaystyle p(x)}$  en cada elemento de ${\displaystyle A}$  define una función polinómica ${\displaystyle f:A\to A}$  en la que a cada elemento ${\displaystyle a\in A}$  le corresponde el valor ${\displaystyle p(a)}$ . De forma similar, los polinomios en varias indeterminadas definen funciones de varias variables. Análogamente, fijado un elemento ${\displaystyle a}$  la evaluación en ${\displaystyle a}$  define una función ${\displaystyle ev_{a}:A[X]\to A}$  que hace corresponder a cada polinomio ${\displaystyle p(x)}$  su valor ${\displaystyle p(a)}$ . Esta función es un homomorfismo de anillos llamado homomorfismo evaluación.^[10]​

Es posible dividir un polinomo ${\displaystyle p}$  entre otro polinomio ${\displaystyle d}$  de forma análoga a como se realiza la división larga entre números enteros, también llamada división con resto. Dados dos polinomios ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle d}$ , existen dos polinomios ${\displaystyle q}$  (el cociente) y ${\displaystyle r}$  (el resto) con las siguientes propiedades:^[11]​

• se satisface la igualdad: ${\displaystyle p=q\cdot d+r}$ .
• el grado del polinomio ${\displaystyle r}$  es estrictamente menor que el grado de ${\displaystyle q}$ .
• los polinomios ${\displaystyle q}$  y ${\displaystyle r}$  son los únicos que satisfacen las dos propiedades anteriores.

Por ejemplo, sean los polinomios de una variable ${\displaystyle p(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$  y ${\displaystyle d(x)=x-3}$ . Entonces se cumple la igualdad

${\displaystyle p(x)=x^{3}-12x^{2}-42=(x^{2}-9x-27)\cdot (x-3)-123}$ .

En este ejemplo, el cociente es el polinomio ${\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}$  y el resto es el polinomio constante ${\displaystyle r(x)=-123}$ . El grado de ${\displaystyle r(x)}$  es cero, por tanto estrictamente menor que el grado de ${\displaystyle d(x)}$ , que es 1.

Cuando el resto es el polinomio nulo, entonces se dice que la división es exacta, y los polinomios ${\displaystyle q}$  y ${\displaystyle d}$  son divisores o factores del polinomio ${\displaystyle p}$ .

Para que la división polinómica se pueda efectuar, los coeficientes de los polinomios deben pertenecer a un cuerpo.^[12]​ en otro caso, la división solo es posible en general si el coeficiente director de ${\displaystyle d}$  es una unidad del anillo (es decir, un elemento con inverso). En el caso de polinomios con coeficientes enteros, eso significa que ${\displaystyle d}$  debe ser un polinomio mónico.^[11]​

Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se define su función polinómica asociada substituyendo la variable x por un elemento del anillo:^[13]​

${\displaystyle f_{P}:A\to A,\qquad \qquad a\in A\mapsto f_{P}(a)=a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}+\ldots +a_{1}a+a_{0}\in A}$ 

Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

Note que las gráficas representan a las funciones polinómicas y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.

La función

${\displaystyle f(x)=13x^{4}-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3}$ 

es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

Si un polinomio ${\displaystyle d(x)}$  divide a otro polinomio ${\displaystyle p(x)}$  entonces se verifica la igualdad ${\displaystyle p(x)=q(x)\cdot d(x)}$  para un tercer polinomio ${\displaystyle q(x)}$ . Cuando ni ${\displaystyle q(x)}$  ni ${\displaystyle d(x)}$  son polinomios constantes se dice que son factores o divisores propios del polinomo ${\displaystyle p(x)}$ . Si ${\displaystyle p(x)}$  carece de divisores propios entonces se dice que es irreducible.

El proceso de encontrar factores de un polinomio se denomina factorización, y es un proceso similar al de encontrar factores primos de un número entero. El objetivo es expresar ${\displaystyle p(x)}$  como el producto de polinomios irreducibles, y tal vez una constante.

La factorización de un polinomio depende del anillo sobre el cual se consideren sus coeficientes. Por ejemplo, el binomio ${\displaystyle X_{}^{2}-2}$  no factoriza sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$  (es decir, no tiene raices racionales) pero sí sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}})}$ 

Por otra parte ${\displaystyle X_{}^{2}+2}$  no factoriza ni sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ , ni tampoco sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$  aunque factoriza sobre ${\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ :

${\displaystyle x^{2}+2=(x+i{\sqrt {2}})(x-i{\sqrt {2}})}$ 

El siguiente teorema, debido a Étienne Bézout se utiliza para factorizar polinomios:

Un valor ${\displaystyle a}$  para el que ${\displaystyle p(a)=0}$  se denomina raíz del polinomio ${\displaystyle p(x)}$ . En virtud del teorema anterior, ${\displaystyle a}$  es una raíz del polinomio ${\displaystyle p(x)}$  si y solo si ${\displaystyle x-a}$  es un factor de ${\displaystyle p(x)}$ . Dicho de otro modo, la división de ${\displaystyle p(x)}$  entre el polinomio ${\displaystyle x-a}$  es exacta, dado que el resto es cero. Este resultado se conoce como teorema del factor.^[15]​

Por ejemplo, sea ${\displaystyle p(x)=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}-1}$ ; como ${\displaystyle p(1)=0}$ , entonces ${\displaystyle p(x)}$  es divisible por ${\displaystyle x-1}$ . De hecho:

${\displaystyle p(x)=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}-1=(x^{3}-4x^{2}+x+1)(x-1)}$ .

Cada vez que se divide un polinomio ${\displaystyle p(x)}$  por un factor ${\displaystyle (x-r)}$ , donde ${\displaystyle r}$  es una de sus raices, el cociente ${\displaystyle q(x)}$  que satisface ${\displaystyle p(x)=(x-r)q(x)}$  tiene un grado inferior en una unidad al grado de ${\displaystyle p(x)}$ . Por tanto, si ${\displaystyle p(x)}$  tiene grado n, entonce puede tener como máximo n raices. La demostración se basa en la igualdad para el grado del producto (3), que solo es cierta cuando los coeficientes pertenecen a un dominio de integridad ${\displaystyle A}$ . En otro caso, un polinomio puede tener más raices que su grado.^[16]​

Un cuerpo en el que todo polinomio no constante (de grado n) se factoriza en (n) monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado. El siguiente resultado demuestra que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado:

Si ${\displaystyle r_{1}}$  es una raiz del polinomio ${\displaystyle p(x)}$  de grado n, entonces por el teorema de Bezout ${\displaystyle p(x)=(x-r_{1})\cdot q(x)}$ , donde ${\displaystyle q(x)}$  es un polinomio de grado n-1. Aplicando sucesivamente el teorema fundamental al polinomio cociente ${\displaystyle q(x)}$ , se puede deducir que un polinomio de grado n tiene n raices complejas. En consecuencia, un polinomio ${\displaystyle p}$  de grado n con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales de la forma ${\displaystyle (x-r_{i})}$ , donde cada ${\displaystyle r_{i}}$  es una raiz no necesariamente distinta, y por el coeficiente director de ${\displaystyle p}$ .^[17]​

Debido al lema de Gauss, el problema de factorizar un polinomio con coeficientes enteros es esencialmente el mismo que si sus coeficientes son racionales. Existen varios métodos para factorizar estos tipo de polinomios, como el método de Kronecker, el algoritmo LLL o el Método de Trager.

En un anillo conmutativo ${\displaystyle \scriptstyle A}$  una condición necesaria (que no suficiente) para que ${\displaystyle (x-a)}$  sea un factor de un polinomio ${\displaystyle p(x)}$  de grado n > 1, es que ${\displaystyle a}$  divida al término independiente de ${\displaystyle p(x)}$ . Cuando este es 0 entonces ${\displaystyle (x)}$  es un divisor de ${\displaystyle p(x)}$ .

En ocasiones se puede factorizar usando las igualdades notables, como la factorización del polinomio ciclotómico de grado n en factores irreducibles^[18]​

${\displaystyle x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+\ldots +x+1)}$ .

• Operaciones con polinomios
• Teorema del resto
• Factorización
• Álgebra
• Álgebra elemental
• Teorema fundamental del álgebra
• Monomio
• Binomio
• Trinomio

• Artin, Michael (1991). Algebra (en inglés) (1ª edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-004763-5. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (en inglés) (3ª edición). AMS Chelsea Publishing. 
• Piskunov, N.S. (1977). Cálculo Diferencial e Integral. Tomo 1 (3ª edición). Moscú: Mir. 
• Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary Abstract Algebra (8ª edición). Boston: Brooks/Cole. 

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•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre polinomio.
• Weisstein, Eric W. «Polinomio». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Polinomios, en descartes.cnice.mec.es
• Apuntes de Álgebra y Geometría Analítica I: Unidad 5 - Polinomios (Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad de Rosario).