La definición exacta de LLL-reducido es la siguiente: Dada una base

${\displaystyle \mathbf {B} =\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}\},}$ 

se definen su base ortogonal obtenida por el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

${\displaystyle \mathbf {B} ^{*}=\{\mathbf {b} _{1}^{*},\mathbf {b} _{2}^{*},\dots ,\mathbf {b} _{n}^{*}\},}$ 

y los coeficientes de Gram-Schmidt

${\displaystyle \mu _{i,j}={\frac {\langle \mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j}^{*}\rangle }{\langle \mathbf {b} _{j}^{*},\mathbf {b} _{j}^{*}\rangle }}}$ , para cada ${\displaystyle 1\leq j<i\leq n}$ .

Entonces la base ${\displaystyle B}$  es LLL-reducida si existe un parámetro ${\displaystyle \delta }$  en (0.25,1] tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1. (Tamaño reducido) Para ${\displaystyle 1\leq j<i\leq n\colon \left|\mu _{i,j}\right|\leq 0.5}$ . Por definición, esta propiedad garantiza la reducción de la longitud de la base.
2. (Condición de Lovász) Para k = 2,3,..,n ${\displaystyle \colon \delta \Vert \mathbf {b} _{k-1}^{*}\Vert ^{2}\leq \Vert \mathbf {b} _{k}^{*}\Vert ^{2}+\mu _{k,k-1}^{2}\Vert \mathbf {b} _{k-1}^{*}\Vert ^{2}}$ .

Llegados a este punto, estimando el valor del parámetro${\displaystyle \delta }$ , podemos concluir cómo de bien se reduce la base. A mayores valores de ${\displaystyle \delta }$  mayores reducciones de la base. Inicialmente, A. Lenstra, H. Lenstra and L. Lovász demostraron el algoritmo de simplificación LLL algoritmo para ${\displaystyle \delta ={\frac {3}{4}}}$ . Nótese que si bien el algoritmo de simplificación LLL está bien definido para ${\displaystyle \delta =1}$ , la complejidad de tiempo polinomial está garantizada solo para ${\displaystyle \delta \in (0.25,1)}$  .

El algoritmo LLL calcula bases LLL-reducidas. No se conoce un algoritmo eficiente que calcule una base cuyos vectores sean tan pequeños como sea posible para retículos de dimensiones mayores que 4. Sin embargo, una base LLL-reducida es casi tan pequeña como sea posible, en le sentido de que hay unas cotas absolutas ${\displaystyle c_{i}>1}$  tal que el primer vector de la base no es más de ${\displaystyle c_{1}}$  veces más largo que el vector más corto del retículo, el segundo vector de la base es igualmente ${\displaystyle c_{2}}$  más largo como máximo que el segundo vector más corto, y así sucesivamente.

LLL está implementado en

• Arageli como la función lll_reduction_int.
• fpLLL como implementación que se ejecuta en local.
• GAP como la función LLLReducedBasis.
• Macaulay2 como la función LLL en el paquete LLLBases.
• Magma como las funciones LLL y LLLGram (tomando una matriz de Gram).
• Maple como la función IntegerRelations[LLL].
• Mathematica como la función LatticeReduce.
• Number Theory Library (NTL) como la función LLL.
• PARI/GP como la función qflll.
• Pymatgen como la función analysis.get_lll_reduced_lattice.
• Sage como el método LLL llevado a cabo por fpLLL y NTL.

• Método de Coppersmith

• Napias, Huguette (1996). «A generalizaion of the LLL algorithm over euclidean rings or orders». J. The. Nombr. Bordeaux 8 (2): 387-396. 
• Cohen, Henri (2000). A course in computational algebraic number theory. GTM 138. Springer. ISBN 3-540-55640-0. 
• Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. ISBN 0-387-95444-9. 
• Luk, Franklin T.; Qiao, Sanzheng (2011). «A pivoted LLL algorithm». Lin. Alg. Appl. 434: 2296-2307. doi:10.1016/j.laa.2010.04.003.