Laport nació en la ciudad uruguaya de Juan Lacaze, ubicada en el departamento de Colonia. Emigró hacia Argentina, más precisamente a la localidad de Don Torcuato (en el partido de Tigre, en la zona noroeste del Gran Buenos Aires) en donde comenzó sus estudios de teatro. Su primera actuación fue en 1983, en la telenovela Cara a cara junto a Verónica Castro. Con el tiempo se le confiaron papeles cada vez más importantes, como en Gente como la gente (1985), Duro como la roca, frágil como el cristal (1986), Estrellita mía (1987), Tu mundo y el mío (1987-1988) y Pasiones (1988). Durante 1990 tuvo el papel protagónico en la versión argentino-venezolana de Pobre diabla, con Jeannette Rodríguez.

En 1991 consiguió un gran éxito al protagonizar Cosecharás tu siembra junto a Luisa Kuliok. Siguieron Más allá del horizonte (1994), El día que me quieras (1995), El último verano (1996), 90 60 90 Modelos (1997), y Milady, la historia continúa (1998). Por este año participó también de la coproducción argentino-uruguaya Maldita cocaína.

El gran éxito de Campeones de la vida (1999-2000) le hizo ganar el premio Martín Fierro como mejor actor de comedia. Luego volvió al cine con Solo un ángel, dirigida por Horacio Maldonado, y de nuevo a la televisión con Franco Buenaventura, el profe (2002) y la exitosa Soy gitano (2003).

Finalmente, protagonizó Amor en custodia durante 2005, Collar de Esmeraldas en 2006, y durante 2007 interpretó a Martín Fierro en Son de Fierro (dicho personaje no guarda relación alguna con el famoso personaje gauchesco Martín Fierro, de José Hernández). Al finalizar este último programa, comenzó a desarrollar una carrera musical.

También interpretó a Vicente Soler en la exitosa teleserie chilena Brujas.

En el año 2010 protagonizó Alguien que me quiera, junto a Andrea del Boca, Susú Pecoraro y Miguel Ángel Rodríguez, entre otros. En el año 2012 Formó parte de la telenovela Lobo, junto a Gonzalo Heredia, Vanesa González, entre otros. La novela se descontinuó debido a la falta de audiencia. Volvió a ser convocado por Pol-Ka Producciones para formar parte del elenco de Sos mi hombre, en donde recobró la vida su antiguo personaje Guido Guevara (de Campeones de la vida). Entre 2013 y 2014 formó parte del elenco de Mis amigos de siempre, donde interpreta a Cholo, el padre de Simón (Nicolás Cabré) y de Guido (Victorio D´Alessandro).

En 2013 y 2014 trabajó como director de teatro, presentando la obra Las novias de Travolta, de Andrés Tulipano, con Adriana Salonia, Goly Turilli, Viviana Sáez y Patricia Viggiano. La recaudación se dedicó al Primer Congreso Argentino de Capacitación e Investigación sobre ELA (Esclerosis Lateral Amiotrófica).^[2]​

En 2005, Laport inició una carrera como cantante. En 2007 publicó su primer álbum, titulado Ojalá, de estilo melódico, y dirigido al público que lo sigue a través de sus novelas.

El vuelco hacia el género popular se dio sutil y naturalmente cuando surgió la posibilidad de realizar un evento para recaudar fondos para Tiago, el niño que apadrina Osvaldo hace ya varios años ayudándolo para convivir con la enfermedad denominada osteogénesis imperfecta (o «huesos de cristal»).

En 2011 editó su segundo álbum, llamado Resonancia, con el que siguió conectándose con el folclore y la música popular a través de incontables shows y presentaciones en todo Buenos Aires y en el interior del país.

• 2007: "Ojalá" - FEG DISCOS S.A.
• 2011: "Resonancia" - GLD DISTRIBUIDORA S.A.
• 2020: "El Aviador" El Principito Sinfónico - Latin Vox Machine

En 2004, Laport donó al ACNUR (Alto Comisionado de las Naciones Unidas para los Refugiados) un porcentaje de las ganancias de su perfume para hombres: Tiempo.

En 2006 fue nombrado «embajador de buena voluntad» del ACNUR.^[3]​ En junio de 2009 viajó a la República Democrática del Congo (África) como embajador.^[4]​^[5]​ Las vivencias de su viaje fueron presentadas en un documental.^[6]​

Actualmente continúa siendo parte de esta organización.

Desde 1979 está casado con la actriz argentina Viviana Sáez, con quien tiene una hija Jazmín, nacida en 1995, que al igual que sus padres es actriz.^[7]​ Viven en una casa de campo en la localidad de Benavídez, en el Gran Buenos Aires.^[8]​ Laport es hincha y socio del club de fútbol uruguayo Nacional.^[8]​

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