Laport nació en la ciudad uruguaya de Juan Lacaze, ubicada en el departamento de Colonia. Emigró hacia Argentina, más precisamente a la localidad de Don Torcuato (en el partido de Tigre, en la zona noroeste del Gran Buenos Aires) en donde comenzó sus estudios de teatro. Su primera actuación fue en 1983, en la telenovela Cara a cara junto a Verónica Castro. Con el tiempo se le confiaron papeles cada vez más importantes, como en Gente como la gente (1985), Duro como la roca, frágil como el cristal (1986), Estrellita mía (1987), Tu mundo y el mío (1987-1988) y Pasiones (1988). Durante 1990 tuvo el papel protagónico en la versión argentino-venezolana de Pobre diabla, con Jeannette Rodríguez.

En 1991 consiguió un gran éxito al protagonizar Cosecharás tu siembra junto a Luisa Kuliok. Siguieron Más allá del horizonte (1994), El día que me quieras (1995), El último verano (1996), 90 60 90 Modelos (1997), y Milady, la historia continúa (1998). Por este año participó también de la coproducción argentino-uruguaya Maldita cocaína.

El gran éxito de Campeones de la vida (1999-2000) le hizo ganar el premio Martín Fierro como mejor actor de comedia. Luego volvió al cine con Solo un ángel, dirigida por Horacio Maldonado, y de nuevo a la televisión con Franco Buenaventura, el profe (2002) y la exitosa Soy gitano (2003).

Finalmente, protagonizó Amor en custodia (2005), Collar de Esmeraldas (2006), y durante 2007 interpretó a Martín Fierro en Son de Fierro (dicho personaje no guarda relación alguna con el famoso personaje gauchesco Martín Fierro, de José Hernández). Al finalizar este último programa, comenzó a desarrollar una carrera musical.

También interpretó a Vicente Soler en la exitosa teleserie chilena Brujas.

En el año 2010 protagonizó Alguien que me quiera, junto a Andrea del Boca, Susú Pecoraro y Miguel Ángel Rodríguez, entre otros. En el año 2012 Formó parte de la telenovela Lobo, junto a Gonzalo Heredia, Vanesa González, entre otros. La novela se descontinuó debido a la falta de audiencia. Volvió a ser convocado por Pol-Ka Producciones para formar parte del elenco de Sos mi hombre, en donde recobró la vida su antiguo personaje Guido Guevara (de Campeones de la vida). Entre 2013 y 2014 formó parte del elenco de Mis amigos de siempre, donde interpreta a Cholo, el padre de Simón (Nicolás Cabré) y de Guido (Victorio D´Alessandro).

En 2013 y 2014 trabajó como director de teatro, presentando la obra Las novias de Travolta, de Andrés Tulipano, con Adriana Salonia, Goly Turilli, Viviana Sáez y Patricia Viggiano. La recaudación se dedicó al Primer Congreso Argentino de Capacitación e Investigación sobre ELA (Esclerosis Lateral Amiotrófica).

En 2015 Laport participó en el programa La novela de la una, junto a Soledad Silveyra. Esta producción fue emitida por Telefe y tuvo como tema principal la canción "Para siempre" compuesta por Kany García.

En 2016 fue participante de Bailando por un Sueño conducido por Marcelo Tinelli quedando eliminado frente a Charlotte Caniggia.^[2]​^[3]​ También dirigió la obra BeatNik con actuaciones de Magui Bravi, Nahuel Mutt, Fabio Di Tomasso y Sebastián Francini.^[4]​

En 2017 formó parte de la obra teatral Sálvese quien pueda con Emilio Disi, Florencia de la V, Federico Bal, Virginia Gallardo, Sebastián Almada y Ailén Bechiara, con producción de DABOPE, realizando una lograda temporada en Carlos Paz.^[5]​ A su vez, participó de la telenovela Las Estrellas interpretando a Mario Estrella y se unió a la comedia teatral Plaza Suite con Arnaldo André (quien dirigió la obra), Raúl Taibo y Ana María Picchio, reemplazando a Viviana Sáez que era de la partida de la obra.^[6]​^[7]​

En 2018 participó en la telenovela 100 días para enamorarse interpretando a Gino, junto a Carla Peterson, Nancy Duplaá, Luciano Castro y Juan Minujín. También formó parte del elenco protagónico del espectáculo teatral Siddharta, la versión argentina basada en la novela de Hermann Hesse dirigida por Flavio Mendoza, Germán Barceló y Damián Mahler, junto a Facundo Mazzei, Karina la Princesita, Pietro Vicentini, Franco Friguglietti, Roberto Peloni y Pablo Sultani.^[8]​

En 2019 formó parte de la obra teatral Rotos de Amor (que tuvo varias versiones muy logradas) dirigidos por Andrés Bazzalo y con producción de Javier Faroni, donde compartió elenco con: Hugo Arana (fallecido en 2020), Pepe Soriano (fallecido en 2023), Victor Laplace, Antonio Grimau y Roly Serrano. Realizaron giras por el interior de Argentina y temporada en Carlos Paz y Mar del Plata.^[9]​^[10]​ A su vez, lanzó su propio vino bajo el nombre de "Osvaldo Laport wines".^[11]​ Asumió el cargo de director artístico y padrino del Teatro Seminari en Escobar, dejando el cargo en 2022 para abocarse a proyectos laborales y artísticos.^[12]​^[13]​

En 2020 se vio afectado por la pandemia de COVID-19 y sufrió un accidente doméstico que no pasó a mayores, debiendo pausar el proyecto de Rotos de Amor. A su vez, dirigió y protagonizó la obra teatral Detrás del arcoiris por streaming junto a Luisa Kuliok y Beto Casella.^[14]​^[15]​

En 2021 fue protagonista de Bandido (filmada íntegramente en Córdoba) una coproducción argentina-española que fue presentada como apertura del BAFICI interpretando a un reconocido y popular cantante conocido bajo el seudónimo de «Bandido», que está cansado de las giras, las grabaciones, la multitud y las fotografías.^[16]​ A su vez, formó parte de El Principito Sinfónico realizado íntegramente por Latin Vox Machine, junto a ACNUR, OIM, UNICEF, AECID, la Embajada de Canadá y la Embajada de Francia, en una única fecha en el Movistar Arena de Buenos Aires. También retomó Rotos de Amor realizando temporada en Mar del Plata.^[17]​

En 2022 luego de participar del programa Almorzando con Juana con Juana Viale, debió ser internado por un diagnóstico de triquinosis, pero se recuperó favorablemente.^[18]​

En 2023 dirigió la obra Oscuras rosas rojas negras con actuaciones de Daniel Valenzuela, Erica de Santurrieta, Viviana Sáez, Maru Gandolfo, Eugenia Blanco y Franco Loro. También participó de la película Partida junto a Miriam Lanzoni y Lucila Gandolfo. A su vez, protagonizó la película El señor de las ballenas junto a Malena Solda, Carlos Kaspar y Enrique Natale.^[19]​Tuvo su propio programa de ficción, El Insomne, emitido por El Nueve donde interpreta a un personaje que recorre lugares emblemáticos y que forman parte de la memoria colectiva de Argentina.^[20]​ A su vez, dirigió a Arnaldo André y Miriam Lanzoni (luego reemplazada por Paula Volpe) en la obra teatral El Engache estrenada en el Teatro Broadway y luego realizando una gira nacional e internacional.^[21]​

En 2024 terminó abruptamente su amistad con Solita Silveyra tras realizar la obra teatral La Fuerza del Cariño, alegando malestar con Silveyra porque no se mostró muy comprometida con el proyecto.^[22]​ A su vez, protagonizó la película Hombre Muerto interpretando a Almeida, junto a Diego Velázquez, Daniel Valenzuela, Roly Serrano, Sebastián Francini, Oliver Kolker, Yanina Campos y Harold Agüero, dirigida por Andrés Tambornino y Alejandro Gruz.^[23]​. También formó parte de Inmaduros junto a Fabián Vena, Alejandro Muller, Viviana Sáez, Jazmín Laport y Luly Drozdek, estrenando en el Teatro Melos de Carlos Paz.^[24]​^[25]​

Actualmente, forma parte del elenco protagónico de La Sirenita interpretando al Rey Tritón, junto a Albana Fuentes, Evelyn Botto, José María Listorti y Pablo Turturiello, con producción de Ozono Producciones, MP y Carlos Rottemberg, con dirección a cargo de Ariel Del Mastro, Marcelo Caballero y coreografías de Analía González. Su estreno fue el 5 de junio en el Teatro Gran Rex.^[26]​^[27]​

En 2005, Laport inició una carrera como cantante. En 2007 publicó su primer álbum, titulado Ojalá, de estilo melódico, y dirigido al público que lo sigue a través de sus novelas.

El vuelco hacia el género popular se dio sutil y naturalmente cuando surgió la posibilidad de realizar un evento para recaudar fondos para Tiago, el niño que apadrina Osvaldo hace ya varios años ayudándolo para convivir con la enfermedad denominada osteogénesis imperfecta (o «huesos de cristal»).

En 2011 editó su segundo álbum, llamado Resonancia, con el que siguió conectándose con el folclore y la música popular a través de incontables shows y presentaciones en todo Buenos Aires y en el interior del país.

• 2007: "Ojalá" - FEG DISCOS S.A.
• 2011: "Resonancia" - GLD DISTRIBUIDORA S.A.
• 2020: "El Aviador" El Principito Sinfónico - Latin Vox Machine

En 2004, Laport donó al ACNUR (Alto Comisionado de las Naciones Unidas para los Refugiados) un porcentaje de las ganancias de su perfume para hombres: Tiempo.

En 2006 fue nombrado «embajador de buena voluntad» del ACNUR.^[28]​ En junio de 2009 viajó a la República Democrática del Congo (África) como embajador.^[29]​^[30]​ Las vivencias de su viaje fueron presentadas en un documental.^[31]​

Actualmente continúa siendo parte de esta organización.

Desde 1979 está casado con la actriz argentina Viviana Sáez, con quien tiene una hija Jazmín, nacida en 1995, que al igual que sus padres es actriz.^[32]​ Viven en una casa de campo en la localidad de Benavídez, en el Gran Buenos Aires.^[33]​ Laport es hincha y socio del club de fútbol uruguayo Nacional.^[33]​

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