Primero demostramos que si ${\displaystyle b\in N(S)}$  entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$  ya que para cualquier ${\displaystyle s\in S}$  existe un ${\displaystyle s_{1}\in S}$  que satisfaga ${\displaystyle bsb^{-1}=s_{1}}$ , pero entonces ${\displaystyle s=(b^{-1})s_{1}(b)\in S}$ , es decir, ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ 

Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando

${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}sba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}}$ 

observamos que a está conjugando al elemento ${\displaystyle b^{-1}sb}$ , el cual a su vez es la conjugación por ${\displaystyle b^{-1}}$  de s.

Pero como ${\displaystyle b\in N(S)}$ , entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$  y por tanto ${\displaystyle b^{-1}sb\in S}$ . Denotemos por ${\displaystyle s_{2}}$  a ${\displaystyle b^{-1}sb}$  y entonces la expresión original se reescribe como ${\displaystyle as_{2}a^{-1}}$  que, al estar a en ${\displaystyle N(S)}$ , también pertenece a S.

Concluimos entonces que ${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S}$  y por tanto ${\displaystyle N(S)}$  es un subgrupo.