Greer se graduó de Paradise High School en Paradise, California, en 1998 y luego pasó dos años como Misionero mormón en Bruselas.^[2]​^[3]​ Greer asistió a la Universidad Brigham Young, donde se especializó en relaciones internacionales.^[3]​ Continuó sus estudios con maestrías en la Universidad París 1 Panthéon-Sorbonne y en Sciences Po,^[4]​ y posteriormente asistió a la Escuela de Derecho de la Universidad de Virginia.^[5]​ Entre septiembre y diciembre de 2007, trabajó como asistente jurídico en el Tribunal de Justicia de la Unión Europea.^{[cita requerida]}

De 2008 a 2012,^{[cita requerida]} Greer sirvió como oficial en el Cuerpo Jurídico de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Sirvió en Kansas y Turquía, y fue desplegado en Irak, donde se desempeñó como jefe de justicia militar.^[3]​^[6]​ Fue dado de baja con honores en 2012.^{[cita requerida]}

Greer trabajó posteriormente en bufetes de abogados privados especializados en leyes de comercio, incluyendo Skadden, Arps, Slate, Meagher & Flom. Representó a U.S. Steel en una demanda contra China.^[3]​ Actualmente es socio en comercio internacional en King & Spalding.^[6]​

Greer fue jefe de gabinete del representante comercial Robert Lighthizer entre 2017 y 2020.^[6]​ Participó en negociaciones comerciales con China y en las conversaciones sobre la renegociación del Tratado de Libre Comercio de América del Norte con Canadá y México.^[7]​

En noviembre de 2024, el presidente electo Donald Trump anunció su intención de nominar a Greer como Representante de Comercio de los Estados Unidos.^[6]​ De ser confirmado, Greer sería el primer funcionario de nivel gabinete mormón desde que Mike Leavitt sirvió como Secretario de Salud y Servicios Humanos de los Estados Unidos en 2009.^[2]​^[8]​

Greer apoya políticas económicas más estrictas hacia China, incluida la aplicación agresiva del acuerdo comercial que resultó de la Guerra comercial entre China y Estados Unidos, así como el uso de controles de exportación y sanciones contra China.^[9]​ También apoya acuerdos comerciales con países como el Reino Unido, Kenia, Filipinas e India para contrarrestar a China, así como restaurar la base manufacturera de Estados Unidos.^[10]​^[9]​