En la geometría diferencial de superficies curvas en el espacio, una indicatriz es una sección cónica plana, que describe el comportamiento de la curvatura local de una superficie en un punto determinado.[1] El término fue introducido por el matemático francés Charles Dupin a principios del siglo XIX y, por lo tanto, también se le llama indicatriz de Dupin.[2]
En un entorno suficientemente pequeño de un punto de una superficie (dada, por ejemplo, por z = f(x,y) con f dos veces continuamente diferenciable), la superficie puede aproximarse con la precisión que se desee mediante una cuádrica, es decir, generando una superficie de segundo orden de la forma z = g(x,y). Para generar la indicatriz de Dupin, esta cuádrica osculadora es cortada por un plano paralelo y tan próximo como se desee al plano tangente, desplazado en la dirección normal a la superficie o en la dirección opuesta a ella. Pueden producirse cuatro casos:
Estos cuatro casos se suelen diferenciar utilizando las dos curvaturas principales de la superficie, teniendo en cuenta lo siguiente:
El producto de las dos curvaturas principales, denominado curvatura de Gauss, es positivo en el caso de un punto elíptico y negativo en el caso de un punto hiperbólico, y en caso contrario es cero.
La indicatriz de Dupin se encuentra en el plano tangente a la superficie en el punto , y es el conjunto de los extremos de los segmentos dispuestos desde el punto en la dirección en el plano tangente y que tienen una longitud igual a , donde es el valor absoluto de la curvatura normal de la superficie en el punto en la dirección . La ecuación de la indicatriz de Dupin tiene la forma:
donde es el vector del plano tangente, y es la segunda forma fundamental de la superficie en el punto .