En cualquier punto de una superficie se puede encontrar un vector normal a esta, es decir, un vector que forme ángulos rectos con la superficie en ese punto. Los planos que contienen el vector normal a un punto se llaman planos normales a ese punto (ver ilustración a la derecha). La intersección de estos planos con la superficie formará curvas que pasan por el punto considerado, llamadas secciones normales. La curvaturas de esas curvas, con signo positivo o negativo según si curvan en dirección del vector normal o no, se llaman curvaturas normales en ese punto. En la mayoría de puntos de la mayoría de superficies "suaves" las distintas secciones darán lugar a curvas con curvaturas distintas. La mayor y la menor curvatura de las secciones encontradas se llaman curvaturas principales, y las denotamos ${\displaystyle \kappa _{1}(p),\kappa _{2}(p)}$ , donde ${\displaystyle p}$  es el punto considerado en la superficie. La curvatura gaussiana es el producto de estas dos curvaturas: ${\displaystyle K(p)=\kappa _{1}(p)\kappa _{2}(p)}$ .

Los distintos signos que puede tomar la curvatura gaussiana se pueden detectar visualmente:

- Si la curvatura gaussiana es positiva, quiere decir que las dos curvaturas principales tienen el mismo signo. Por tanto, como son las curvaturas normales máxima y mínima, todas las curvaturas normales tienen el mismo signo. Esto significa que todas las secciones normales "curvan hacia el mismo lado del vector normal en el punto considerado". Visualmente, la superficie tiene forma de cúpula alrededor del punto. Estos puntos se llaman puntos elípticos. Los puntos de las esferas, elipsoides y del exterior de un toro, por ejemplo, son elípticos.

- Si la curvatura gaussiana es negativa, quiere decir que las dos curvaturas principales tienen signo contrario. Por tanto, hay dos secciones normales que "curvan hacia lados opuestos del vector normal en el punto considerado". Visualmente, la superficie tiene forma de silla de montar alrededor del punto. Estos puntos se llaman puntos hiperbólicos. Los puntos de un hiperboloide o los del interior de un toro, por ejemplo, son hiperbólicos.

- Si la curvatura gaussiana es nula, decimos que el punto es parabólico.

Consideremos una superficie ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$  parametrizada por una aplicación suficientemente diferenciable ${\displaystyle \sigma \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to S\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ . Supondremos que la superficie es regular, es decir, que los vectores tangentes a la superficie ${\displaystyle \sigma _{u}(u,v):={\frac {\partial \sigma }{\partial u}}(u,v)}$  y ${\displaystyle \sigma _{v}(u,v):={\frac {\partial \sigma }{\partial v}}(u,v)}$  son linealmente independientes en cada punto de la superficie. Esto nos permite considerar un vector unitario normal a la superficie en cada punto ${\displaystyle p=\sigma (u,v)\in S}$ , que podemos calcular como ${\displaystyle n(u,v)={\frac {\sigma _{u}(u,v)\times \sigma _{v}(u,v)}{\Vert \sigma _{u}(u,v)\times \sigma _{v}(u,v)\Vert }}}$  (estamos usando la regularidad de la superficie para poder dividir por la norma).

Ahora podemos calcular la matriz jacobiana de la aplicación ${\displaystyle n}$  en el punto ${\displaystyle (u,v)}$ , que denotamos como ${\displaystyle Dn(u,v)}$ , y considerar, para cada vector ${\displaystyle {\tilde {w}}\in T_{p}S}$  en el plano tangente a ${\displaystyle S}$  en el punto ${\displaystyle p=\sigma (u,v)}$ , un vector ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{2}}$  de manera que ${\displaystyle {\tilde {w}}=D\sigma (u,v)\cdot w}$ . Moverse en dirección ${\displaystyle w}$  desde ${\displaystyle (u,v)}$  en ${\displaystyle U}$  representa moverse en dirección ${\displaystyle {\tilde {w}}}$  desde ${\displaystyle p}$  en ${\displaystyle S}$ . Así pues, podemos preguntarnos "cómo cambia el vector normal en ${\displaystyle p}$  cuando nos movemos en dirección ${\displaystyle {\tilde {w}}}$ ", y podremos calcularlo como la derivada direccional de ${\displaystyle n(u,v)}$  en dirección ${\displaystyle w}$  o, lo que es lo mismo, ${\displaystyle Dn(u,v)\cdot w}$ .

Consideremos pues la aplicación ${\displaystyle s_{p}\colon T_{p}S\to T_{p}S}$  dada por ${\displaystyle s_{p}({\tilde {w}})=-Dn(u,v)\cdot w}$ . Lo podemos entender como "en qué dirección cambia el vector normal en ${\displaystyle p}$  cuando nos movemos en dirección ${\displaystyle {\tilde {w}}}$  (y luego le cambiamos el signo por motivos que no son relevantes para esta discusión)". Es fácil comprobar que la aplicación ${\displaystyle s_{p}\colon T_{p}S\to T_{p}S}$  (llamada aplicación de Weingarten) está bien definida, es lineal y es autoadjunta. El teorema espectral nos permite pues afirmar que tiene dos valores propios, a los que llamaremos ${\displaystyle \kappa _{1}(p)}$  y ${\displaystyle \kappa _{2}(p)}$ , las curvaturas principales en el punto ${\displaystyle p}$ .

Definimos entonces la curvatura gaussiana de la superficie en el punto ${\displaystyle p}$  como el producto de las dos curvaturas principales en ${\displaystyle p}$ . Como las curvaturas principales son los valores propios de la aplicación ${\displaystyle s_{p}}$ , su producto coincide con el determinante de ${\displaystyle s_{p}}$ , y esto nos da otra definición de la curvatura gaussiana: ${\displaystyle K(p)=\det(s_{p})}$ .

• M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".

• Energía de Willmore