Radicado desde niño en la Argentina, ingresó al seminario de la ciudad de La Plata. Realizó estudios de teología en la Universidad Católica Argentina, en Roma y en Jerusalén y se especializó en pedagogía y en exégesis de la Biblia. Fue ordenado sacerdote de la parroquia San Cayetano de la el 5 de julio de 1964.^[1]​ Fue profesor de teología del seminario de La Plata, del que fue también prefecto moderador y rector. Fue párroco de una iglesia de esa ciudad, y llevó adelante una actividad intensa en relación con movimientos laicales.^[2]​

El 27 de agosto de 1994, el papa Juan Pablo II lo nombró obispo titular in partibus infidelium de Aquae Regiae y obispo auxiliar de la arquidiócesis de La Plata. El arzobispo de esta sede, Carlos Galán, lo consagró obispo el 30 de noviembre de ese año.^[3]​

Fue nombrado obispo de San Rafael, en la provincia de Mendoza, el 20 de febrero de 1997, asumiendo el cargo el siguiente 8 de mayo.^[3]​ Garlatti fue presidente de la Comisión de Ecumenismo, Relaciones con el Judaísmo y Otras Religiones, y miembro de la comisión de Fe y Cultura de la Conferencia Episcopal Argentina.^[2]​

Su misión principal en San Rafael era solucionar una crisis con respecto al Instituto del Verbo Encarnado,^[2]​ un movimiento clerical ultraconservador. Pese a que, con apoyo del episcopado argentino, en el año 2000 logró la expulsión del Instituto de la Argentina y el cierre de su seminario, la congregación desoyó las órdenes de los obispos y se instaló en la ciudad de Mendoza. Por iniciativa del cardenal Angelo Sodano, la Santa Sede desautorizó a los obispos argentinos y ordenó la reinstalación de la orden en San Rafael.^[4]​

El 11 de marzo de 2003, Juan Pablo II lo nombró arzobispo de Bahía Blanca. Asumió el cargo dos meses más tarde.^[3]​ Durante su gestión creó la Fazenda de la Esperanza en Carhué; se trata de una institución dedicada a la recuperación personal y social de los jóvenes adictos a drogas.^[5]​^[6]​

El 18 de junio de 2014 fue procesado en una causa ligada a la investigación de crímenes de lesa humanidad; Garlatti se habría negado a aportar en tiempo y forma documentación que hubiera permitido hallar a un ex capellán militar, por lo que fue procesado bajo la acusación de desobediencia y encubrimiento.^[7]​ El procesamiento fue revocado en febrero del año siguiente.^[8]​

Renunció a su cargo de arzobispo al cumplir los 75 años de edad, y en julio de 2017 se anunció que el papa Francisco había decidido que fuera sucedido por su arzobispo coadjutor, Fray Carlos Alfonso Azpiroz Costa, de la Orden de Predicadores.^[9]​