En matemáticas, un espacio uniformemente suave es un espacio vectorial normado que satisface la propiedad de que para cada existe un tal que si con , e , entonces:
El módulo de suavidad de un espacio normado X es la función ρX definida para cada t > 0 mediante la fórmula:[1]
La desigualdad triangular significa que ρX(t ) ≤ t. El espacio normado X es uniformemente suave si y solo si (ρX(t ) / t) tiende a 0 cuando t tiende a 0.
Como un espacio es superreflexivo si y solo si su dual es superreflexivo, se deduce que la clase de espacios de Banach que admiten una norma uniformemente convexa equivalente coincide con la clase de espacios que admiten una norma uniformemente suave equivalente. El teorema de renormación debido a Gilles Pisier,[8] establece que un espacio superreflexivo X admite una norma equivalente uniformemente suave para la cual el módulo de suavidad δX satisface, para alguna constante C y alguna p > 1
De ello se deduce que todo espacio superreflexivo Y admite una norma equivalente uniformemente convexa para la cual modulus of convexity satisface, para alguna constante c > 0 y algún real positivo q, que:
Si un espacio normado admite dos normas equivalentes, una uniformemente convexa y otra uniformemente suave, la técnica de promediado de Asplund[9] produce otra norma equivalente que es uniformemente convexa y uniformemente suave.