Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normado tal que, para cada ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$  hay algún ${\displaystyle \delta >0}$  tal que para dos vectores cualesquiera con ${\displaystyle \|x\|=1}$  e ${\displaystyle \|y\|=1,}$  la condición

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ 

implica que:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$ 

Intuitivamente, el centro de un segmento rectilíneo dentro de la 1-esfera debe estar profundamente dentro de la bola unitaria, a menos que el segmento sea corto.

• La 1-esfera se puede sustituir por la bola unidad cerrada en la definición. Es decir, un espacio vectorial normado ${\displaystyle X}$  es uniformemente convexo si y solo si para cada ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$  hay algún ${\displaystyle \delta >0}$  de modo que, para dos vectores cualesquiera ${\displaystyle x}$  y ${\displaystyle y}$  en la bola unitaria cerrada (es decir, ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$  y ${\displaystyle \|y\|\leq 1}$ ) con ${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ , uno tiene ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$  (tenga en cuenta que, dado ${\displaystyle \varepsilon }$ , el valor correspondiente de ${\displaystyle \delta }$  podría ser menor que el proporcionado por la definición original más débil).

• El teorema de Milman-Pettis establece que todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo, mientras que lo contrario no es necesariamente cierto.
• Cada espacio de Banach uniformemente convexo es un espacio de Radon-Riesz, es decir, si ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$  es una secuencia en un espacio de Banach uniformemente convexo que converge débilmente a ${\displaystyle f}$  y satisface ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$  entonces ${\displaystyle f_{n}}$  converge fuertemente a ${\displaystyle f}$ , es decir, ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$ .
• Un espacio de Banach ${\displaystyle X}$  es uniformemente convexo si y solo si su dual ${\displaystyle X^{*}}$  es uniformemente suave.
• Todo espacio uniformemente convexo es estrictamente convexo. Intuitivamente, la convexidad estricta significa una desigualdad triangular ${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$  más fuerte siempre que ${\displaystyle x,y}$  sean linealmente independientes, mientras que la convexidad uniforme requiere que esta desigualdad sea verdadera de manera uniforme.

• Todo espacio prehilbertiano es uniformemente convexo.^[1]​
• Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach uniformemente convexo es uniformemente convexo.
• Las desigualdades de Hanner implican que los espacios L^p ${\displaystyle (1<p<\infty )}$  son uniformemente convexos.
• Por el contrario, ${\displaystyle L^{\infty }}$  no es uniformemente convexo.

• Módulo y característica de convexidad
• Función uniformemente convexa
• Espacio uniformemente suave

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised edición). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4. 
• Per Enflo (1972). «Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm». Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281-288. doi:10.1007/BF02762802. 
• Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. "Geometric nonlinear functional analysis (Análisis funcional geométrico no lineal). Colloquium publications, 48. Sociedad Matemática Estadounidense.