Supóngase que ${\displaystyle X}$  es un espacio localmente convexo, y considérese que ${\displaystyle X^{\prime }}$  y ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  denoten el espacio dual fuerte de ${\displaystyle X}$  (es decir, el espacio dual de ${\displaystyle X}$  dotado con la topología dual fuerte). Sea ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$  el espacio dual continuo de ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  y ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$  el dual fuerte de ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$  Sea ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ , denotándose ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$  dotado de la topología *débil inducida por ${\displaystyle X^{\prime },}$  donde esta topología se denota por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  (es decir, la topología de convergencia puntual en ${\displaystyle X^{\prime }}$ ). Se dice que un subconjunto ${\displaystyle W}$  de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$  está acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  si es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$  y se llama al cierre de ${\displaystyle W}$  en el EVT ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$  el cierre ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  de ${\displaystyle W}$ . Si ${\displaystyle B}$  es un subconjunto de ${\displaystyle X}$ , entonces el polar de ${\displaystyle B}$  es ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$ 

Un espacio localmente convexo de Hausdorff ${\displaystyle X}$  se denomina espacio distinguido si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Si ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$  es un subconjunto acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ , entonces existe un subconjunto acotado ${\displaystyle B}$  de ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$  cuyo cierre ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  contiene a ${\displaystyle W}$ .^[1]​
2. Si ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$  es un subconjunto acotado por ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$  de ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ , entonces existe un subconjunto acotado ${\displaystyle B}$  de ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle W}$  está contenido en ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ , que es el polar (en relación con la dualidad ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$ ) de ${\displaystyle B^{\circ }.}$ ^[1]​
3. El dual fuerte de ${\displaystyle X}$  es un espacio barrilado.^[1]​

Si además ${\displaystyle X}$  es un espacio localmente convexo metrizable, esta lista puede ampliarse para incluir:

4. (Grothendieck) El dual fuerte de ${\displaystyle X}$  es un espacio bornológico.^[1]​

Todos los espacios vectoriales normados y espacios semireflexivos son espacios distinguidos.^[2]​ Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  de un espacio de Fréchet ${\displaystyle X}$  se distingue si y solo si ${\displaystyle X}$  es cuasi barrilado.^[3]​

Todo espacio distinguido localmente convexo es un espacio H.^[2]​

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos.^[1]​ El espacio dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable; el ${\displaystyle l^{1}}$  es uno de estos espacios.^[4]​ El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente un espacio metrizable.^[1]​ Existe un espacio de Mackey ${\displaystyle X}$  no cuasi barrilado, no reflexivo y semirreflexivo, cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo.^[1]​ Existen espacios H que no son espacios distinguidos.^[1]​

Los espacios de Montel de Fréchet son espacios distinguidos.

• Espacio de Montel
• Espacio semirreflexivo

• Bourbaki, Nicolas (1950). «Sur certains espaces vectoriels topologiques». Annales de l'Institut Fourier (en francés) 2: 5-16 (1951). MR 0042609. doi:10.5802/aif.16. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. 
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.