En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$  de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ 

Sea ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$  un par dual de espacios vectoriales sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$  de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} .}$  Para cualquier ${\displaystyle B\subseteq X}$  y cualquier ${\displaystyle y\in Y,}$  se define

${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$ 

Ni ${\displaystyle X}$  ni ${\displaystyle Y}$  tienen una topología, por lo que se dice que un subconjunto ${\displaystyle B\subseteq X}$  está delimitado por un subconjunto ${\displaystyle C\subseteq Y}$  si ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$  es para todos los ${\displaystyle y\in C.}$  Entonces, un subconjunto ${\displaystyle B\subseteq X}$  se llama acotado si y solo si

${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ para todo }}y\in Y.}$ 

Esto es equivalente a la noción habitual de subconjuntos acotados cuando a ${\displaystyle X}$  se le da la topología débil inducida por ${\displaystyle Y,}$  que es una topología localmente convexa de Hausdorff.

Sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  la familia de todos los subconjuntos ${\displaystyle B\subseteq X}$  delimitados por elementos de ${\displaystyle Y}$ ; es decir, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  es el conjunto de todos los subconjuntos ${\displaystyle B\subseteq X}$  tales que para cada ${\displaystyle y\in Y,}$ 

${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$ 

Entonces, la topología fuerte ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$  en ${\displaystyle Y,}$  también denotada por ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$  o simplemente ${\displaystyle \beta (Y,X)}$  o ${\displaystyle b(Y,X)}$  si se entiende el emparejamiento ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ , se define como la topología localmente convexa en ${\displaystyle Y}$  generada por las seminormas de la forma

${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$ 

La definición de la topología dual fuerte se realiza ahora como en el caso de un EVT. Téngase en cuenta que si ${\displaystyle X}$  es un EVT cuyo espacio dual continuo separa puntos en ${\displaystyle X,}$  entonces ${\displaystyle X}$  es parte de un sistema dual canónico ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$  donde ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$  En el caso especial en el que ${\displaystyle X}$  es un espacio localmente convexo, la topología fuerte en el espacio dual (continuo) ${\displaystyle X^{\prime }}$  (es decir, en el espacio de todos los funcionales lineales continuos ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ) se define como la topología fuerte ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$  y coincide con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en ${\displaystyle X}$ , es decir, con la topología en ${\displaystyle X^{\prime }}$  generada por las seminormas de la forma

${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ donde }}f\in X^{\prime },}$ 

donde ${\displaystyle B}$  opera sobre la familia de todos los conjuntos acotados en ${\displaystyle X.}$  El espacio ${\displaystyle X^{\prime }}$  con esta topología se denomina espacio dual fuerte del espacio ${\displaystyle X}$  y se denota por ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$ 

Supóngase que ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial topológico (EVT) sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} .}$  Sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de ${\displaystyle X}$ ; es decir, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  es una familia de subconjuntos acotados de ${\displaystyle X}$  de modo que cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$  es un subconjunto de algún ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ . Entonces, el conjunto de todos los subconjuntos acotados de ${\displaystyle X}$  forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de ${\displaystyle X.}$  Una base de entornos cerrados del origen en ${\displaystyle X^{\prime }}$  viene dada por los conjuntos polares:

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$ 

ya que ${\displaystyle B}$  está por encima de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ). Esta es una topología localmente convexa dada por el conjunto de seminormas en ${\displaystyle X^{\prime }}$ 

${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ 

ya que ${\displaystyle B}$  se extiende sobre ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ 

Si ${\displaystyle X}$  es normado, entonces también lo es ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  y ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  será de hecho un espacio de Banach. Si ${\displaystyle X}$  es un espacio normado con la norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ , entonces ${\displaystyle X^{\prime }}$  tiene una norma canónica (la norma de operador) dada por ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ . La topología que esta norma induce en ${\displaystyle X^{\prime }}$  es idéntica a la topología dual fuerte.

El bidual o segundo dual de un EVT ${\displaystyle X,}$  a menudo denotado por ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$  es el dual fuerte del dual fuerte de ${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ 

donde ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$  denota ${\displaystyle X^{\prime }}$  dotado de la topología dual fuerte ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$  A menos que se indique lo contrario, generalmente se supone que el espacio vectorial ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$  está dotado de la topología dual fuerte inducida en él por ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ , en cuyo caso se le llama bidual fuerte de ${\displaystyle X}$ ; esto es,

${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ 

donde el espacio vectorial ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$  está dotado de la topología dual fuerte ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$ 

Sea ${\displaystyle X}$  un EVT localmente convexo.

• Un subconjunto convexo equilibrado débilmente compacto de ${\displaystyle X^{\prime }}$  está acotado en ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ^[1]​
• Cada subconjunto débilmente acotado de ${\displaystyle X^{\prime }}$  está fuertemente acotado.^[2]​
• Si ${\displaystyle X}$  es un espacio barrilado, entonces la topología de ${\displaystyle X}$  es idéntica a la topología dual fuerte ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$  y a la topología de Mackey en ${\displaystyle X.}$ 
• Si ${\displaystyle X}$  es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de ${\displaystyle X}$  es un espacio bornológico si y solo si es un espacio infrabarrilado, si y solo si es un espacio barrilado.^[3]​
• Si ${\displaystyle X}$  es un EVT localmente convexo de Hausdorff, entonces ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$  es metrizable si y solo si existe un conjunto numerable ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  de subconjuntos acotados de ${\displaystyle X}$  tal que cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$  esté contenido en algún elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ^[4]​
• Si ${\displaystyle X}$  es localmente convexo, entonces esta topología es más fina que todas las demás topologías ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$  en ${\displaystyle X^{\prime }}$  cuando se consideran solo ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$  cuyos conjuntos son subconjuntos de ${\displaystyle X.}$ 
• Si ${\displaystyle X}$  es un espacio bornológico (por ejemplo, un espacio metrizable o un espacio LF), entonces ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$  es completo.

Si ${\displaystyle X}$  es un espacio barrilado, entonces su topología coincide con la topología fuerte ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$  en ${\displaystyle X}$  y con la topología de Mackey generada por el emparejamiento ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ 

Si ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial normado, entonces su espacio dual (continuo) ${\displaystyle X^{\prime }}$  con la topología fuerte coincide con el espacio de Banach dual ${\displaystyle X^{\prime }}$ ; es decir, con el espacio ${\displaystyle X^{\prime }}$  con la topología inducida por la norma de operador. Por el contrario, la topología ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right)}$  en ${\displaystyle X}$  es idéntica a la topología inducida por la norma en ${\displaystyle X.}$ 

• Topología dual
• Sistema dual
• Anexo:Topologías
• Topología polar
• Espacio reflexivo
• Espacio semirreflexivo
• Topología fuerte
• Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.