La calle ha tenido ese nombre desde que el 12 de octubre de 1887 dejó de ser parte de la de San Francisco.^[1]​ Honra a Mateo Benigno de Moraza y Ruiz de Garibay (1817-1878), jurista y político vitoriano, nacido a pocos metros de la calle, en la de la Cuchillería; acérrimo defensor de los fueros, llegaría a ser diputado a Cortes por la provincia de Álava, consejero de la diputación, correspondiente de la Real Academia de la Historia y miembro del Real Ateneo Científico, Literario y Artístico de Vitoria.^[2]​

La calle principia en la escalinata de la iglesia de San Miguel Arcángel y concluye en la cuesta de San Francisco.^[1]​ Allí, da a parar en el edificio que históricamente albergó al Banco de España en la ciudad y que ahora es sede del Centro Memorial de las Víctimas del Terrorismo. A lo largo de la historia, han formado parte de la calle la Plaza Nueva y Los Arquillos, ambas obras monumentales de Justo Antonio de Olaguíbel.^[1]​ Si bien ahora la calle está ocupada por bares y restaurantes,^[3]​ fue durante años centro neurálgico de la vida social y política de la ciudad, con cafés, imprentas —la de Sarasqueta y la de Ignacio Egaña, de la que salían publicaciones como El Mosaico, El Escudo Católico, La Buena Causa, El Porvenir Alavés, La Trompeta, El Lirio y Vitoria Alegre— y locales destinados al teatro.^[4]​ La calle celebró durante años su propia festividad con motivo del día de Mateo el Evangelista.^[5]​

• Anexo:Calles de Vitoria

•   Partes de este artículo incluyen texto de Guía de Vitoria (1901), una obra de José Colá y Goiti (1841-1924) en dominio público.

• Colá y Goiti, José (1901). «Calle de Mateo B. de Moraza». Guía de Vitoria. Vitoria: imprenta de los hijos de Iturbe. p. 43. Wikidata Q114798447. 
• Herrán, Fermín (1878). Biografía de Mateo Benigno de Moraza. Vitoria: imprenta Viuda de Egaña e hijo. Wikidata Q114074369. 
• Val de Sosa, Venancio Ramón del (1979). «Mateo Moraza». Calles vitorianas. Obra Cultural de la Caja de Ahorros Municipal. pp. 232-235. Wikidata Q113989085.