Sea ${\displaystyle f}$  una función definida en ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ , sea ${\displaystyle t}$  un punto y ${\displaystyle \delta }$  una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto ${\displaystyle t}$  como

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$ 

Nótese que se considera ${\displaystyle f}$  una función periódica. Por ejemplo, si ${\displaystyle t=0}$  y ${\displaystyle \epsilon }$  es negativo, se tiene ${\displaystyle f(\epsilon )=f(2\pi +\epsilon )}$ .

El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$ 

Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales

Teorema (test de Dini): Supongamos que una función ${\displaystyle f}$  satisface en un punto ${\displaystyle t}$  que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$ 

Entonces la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$  converge en ${\displaystyle t}$  a ${\displaystyle f(t)}$ .

Por ejemplo, el teorema se cumple con ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$  pero no con ${\displaystyle \log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$ .

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función ${\displaystyle f}$  satisface

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$ 

Entonces la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$  converge uniformemente a ${\displaystyle f}$ .

En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.

Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función ${\displaystyle f}$  cuyo módulo de continuidad satisface el test con ${\displaystyle O}$  en lugar de ${\displaystyle o}$ , esto es,

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$ 

y la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$  diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función ${\displaystyle \Omega }$  tal que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$ 

existe una función ${\displaystyle f}$  tal que

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}$ 

y la serie de Fourier de ${\displaystyle f}$  diverge en 0.

• Convergencia de series de Fourier
• Continuidad de Dini
• Criterio de Dini