Teoremas_de_isomorfismo Knowpia

Los teoremas de isomorfía o, más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether (también llamados teoremas de isomorfismo), son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Su nombre se debe a la matemática alemana Emmy Noether, quien formuló estos resultados de forma general en 1927.

Primer teorema de isomorfía

Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo ${\bar {f}}:G/(\ker f)\longrightarrow \mathrm {im} \ f$ , y por tanto

$G/(\ker f)\cong \mathrm {im} \ f.$

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfismo se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde $\pi :G\longrightarrow G/\ker f$ es la proyección canónica de $G$ en $G/\ker f$ .

Demostración
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo Descomposición canónica del homomorfismo f. donde ${\begin{aligned}\sigma :&G\longrightarrow G/K\\&g\mapsto gK\end{aligned}}$ es la aplicación de proyección en el cociente, y $j:im\ f\to G'$ la inclusión. Definimos ${\begin{aligned}{\hat {f}}:&G/K\longrightarrow im\ f\\&gK\mapsto f(g)\end{aligned}}$ Esta aplicación está bien definida, pues no depende de la elección del representante de gK. Supongamos que $h\in gK$ . Entonces $gh^{-1}\in K$ y por tanto $1=f(gh^{-1})=f(g)f(h^{-1})=f(g)f(h)^{-1}$ , con lo cual $f(g)=f(h)$ . Además es un homomorfismo, puesto que ${\hat {f}}(gK\ hK)={\hat {f}}((gh)K)=f(gh)=f(g)f(h)={\hat {f}}(gK){\hat {f}}(hK)$ . ${\hat {f}}$ es uno a uno: supongamos que ${\hat {f}}(gK)={\hat {f}}(hK)$ . Entonces $f(g)=f(h)$ y $gh^{-1}\in K$ , con lo que $gK=hK$ . Para ver que es sobreyectiva basta observar que para todo $y\in im\ f$ existe $g\in G$ tal que $f(g)=y$ . En consecuencia ${\hat {f}}(gK)=y$ . Con esto queda demostrado que ${\hat {f}}$ es un isomorfismo.^[1]

El primer teorema de isomorfía es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

Ejemplos

Considérese el epimorfismo natural $f:(\mathbb {Z} ,+)\longrightarrow (\mathbb {Z} _{n},+)$ dado por

$f(i)=[i]_{n}.\,\!$

Es claro que $f(i)=[0]_{n}\,\!$ si y sólo si $n\mid i$ , luego $\ker f=n\mathbb {Z}$ , así que

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)\cong (\mathbb {Z} _{n},+).$

Si $A_{n}$ es el subgrupo alternante del grupo simétrico $S_{n}$ , entonces

$S_{n}/A_{n}\cong \left(\{-1,1\},\cdot \right).$

Segundo teorema de isomorfía

Si $N$ y $H$ son subgrupos de un grupo $G$ , con $N$ normal en $G$ , entonces

$H/(H\cap N)\cong (HN)/N.$

Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si $N$ es normal a G entonces también lo es $H\cap N$ en $H$ , y puede demostrarse que el epimorfismo

${\begin{array}{rcl}\varphi :H&\longrightarrow &(HN)/N\\h&\mapsto &hN\end{array}}$

cumple con $\ker \varphi =H\cap N$ . Si $\pi :HN\longrightarrow (HN)/N$ y $\rho :H\longrightarrow H/(H\cap N)$ son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo $\psi :H/(H\cap N)\longrightarrow (HN)/N$ se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Tercer teorema de isomorfía

Si $N$ y $H$ son subgrupos normales de un grupo $G$ , con $N\subseteq H$ , entonces

$G/H\cong (G/N)/(H/N)$

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

donde $\varphi _{1},\varphi _{2}$ son proyecciones canónicas, ${\mbox{id}}\,\!$ es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfismo, véase, por ejemplo, el wikilibro Álgebra, Subgrupos normales.

Existe también un llamado «cuarto teorema de isomorfía», aunque no suele mencionarse como tal.

Si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ , entonces hay una biyección entre los subgrupos de $G$ que contienen a $N$ y los subgrupos de $G/N$ . Este teorema tiene generalizaciones para cualquier homomorfismo desde $G$ .

Referencias

↑ Rotman, 1999, p. 35.

Bibliografía

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Fraleigh, John B. (2002). A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley. 0-20176-390-7.
Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra. Wiley. 0-471-01090-1.
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Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer.
Steinberger, Mark (1994). Algebra (en inglés). International Thomson Publishing.