Sea ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$  una función analítica en un dominio simplemente conexo ${\displaystyle D}$ , excepto en un número finito de puntos ${\displaystyle z_{k}}$  que constituyen singularidades aisladas de ${\displaystyle f}$ . Sea ${\displaystyle C}$  una curva en ${\displaystyle D}$ , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de ${\displaystyle f}$ . Entonces se tiene:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{k})}$  es el Residuo de la función ${\displaystyle f}$  en el punto singular ${\displaystyle z_{k}}$ .

Sea ${\displaystyle f}$  holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial ${\displaystyle f(z)\,dz}$  es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral ${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz}$  es igual a ${\displaystyle \int _{C'}f(z)\,dz}$  siempre que ${\displaystyle C'}$  sea una curva homotópica con ${\displaystyle C}$ .

En específico, se puede considerar una curva tipo ${\displaystyle C'}$  la cual tiene una rotación alrededor de los puntos ${\displaystyle a_{j}}$  sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva ${\displaystyle C'}$  sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de ${\displaystyle f}$  alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea ${\displaystyle z=a_{j}+\rho e^{i\theta }}$  parametrización de la curva alrededor del punto ${\displaystyle a_{j}}$ , entonces se tiene ${\displaystyle dz=\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$ , por lo tanto:

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=\int _{C'}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{\partial B_{\rho }(a_{j})}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$ 

donde ${\displaystyle \rho >0}$ , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas ${\displaystyle B_{\rho }(a_{j})}$  están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio ${\displaystyle U}$ . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda ${\displaystyle j}$ :

${\displaystyle i\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =2\pi i\mathrm {Res} (f,a_{j}).}$ 

Sea ${\displaystyle j}$  fija y aplíquese la serie de Laurent para ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle a_{j}:}$ 

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}}$ 

de tal forma que ${\displaystyle {\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}}$ , donde c_-1, es el coeficiente de ${\displaystyle {1 \over (z-a_{j})}}$  en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =\sum _{k}\int _{0}^{2\pi }c_{k}(\rho e^{i\theta })^{k}\rho e^{i\theta }\,d\theta =\rho ^{k+1}\sum _{k}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta .}$ 

Obsérvese que si ${\displaystyle k=-1}$ , se tiene:

${\displaystyle \rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})}$ 

mientras que para ${\displaystyle k\neq -1}$  se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =\left[{\frac {e^{i(k+1)\theta }}{i(k+1)}}\right]_{0}^{2\pi }=0.}$ 

${\displaystyle \square }$ 

• Residuo

• Weisstein, Eric W. «Residue Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.