Sea ${\displaystyle A}$  un anillo conmutativo dotado con la unidad (la unidad puede ser 0, entonces ${\displaystyle A={0}}$ ). Se dice que ${\displaystyle A}$  es noetheriano si todo ideal de ${\displaystyle A}$  está finitamente generado. Es fácil probar que cuando se cumplen las tres siguientes condiciones los dos enunciados equivalen entre sí:

1. ${\displaystyle A}$  es noetheriano.
2. Todo conjunto no vacío de ideales de ${\displaystyle A}$  admite un elemento maximal
3. ${\displaystyle A}$  cumple la condición de cadena ascendente (ACC o CCA):

Si

${\displaystyle I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{n}\subseteq \cdots }$ 

es una cadena de ideales, entonces existe ${\displaystyle N}$  tal que

${\displaystyle I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots }$ .

Teorema. Si ${\displaystyle A}$  es noetheriano, entonces ${\displaystyle A[X]}$  es noetheriano.

Corolario. Si ${\displaystyle A}$  es noetheriano, entonces ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$  es noetheriano.

El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre ${\displaystyle n}$ .