Teorema_de_Zsigmondy Knowpia

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide aⁿ - bⁿ y no divide a^k-b^k por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:

n = 1, a − b = 1; entonces aⁿ − bⁿ = 1 que no tiene divisores primos
n = 2, a + b una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹) debe estar contenido en a¹ - b¹, que también es par
n = 6, a = 2, b = 1; entonces a⁶ − b⁶ = 63 = 3²×7 = (a² − b²)²(a³ − b³)

Esto generaliza el teorema de Bang,^[1] que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2ⁿ − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2^k − 1 con k < n.

De manera similar, aⁿ + bⁿ tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 2³ + 1³ = 9.

El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.^[2]^[3]

Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Generalizaciones

Sea $(a_{n})_{n\geq 1}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.$

es decir, el conjunto de índices $n$ tal que cada primo dividiendo $a_{n}$ también divide algunos $a_{m}$ para algunos $m<n$ . Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$ , y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es $\{1,2,6,12\}$ , y el de la secuencia de Pell es $\{1\}$ . En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier^[4] demostraron que, en general, si $(a_{n})_{n\geq 1}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$ (ver OEIS: A285314,^[5] solo hay 13 $n$ , a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si $(W_{n})_{n\geq 1}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ es finito.^[6] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ , aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ .^[7]

Véase también

Teorema de Carmichael

Referencias

↑ Bang, A. S. (1886). «TALTHEORETISKE UNDERSØGELSER». Tidsskrift for mathematik 4: 70-80. ISSN 0909-2528. Consultado el 8 de abril de 2021.
↑ «LISTSERV - NMBRTHRY Archives - LISTSERV.NODAK.EDU». listserv.nodak.edu. Consultado el 8 de abril de 2021.
↑ Artin, Emil (1955). «The orders of the linear groups». Communications on Pure and Applied Mathematics (en inglés) 8 (3): 355-365. ISSN 1097-0312. doi:10.1002/cpa.3160080302. Consultado el 8 de abril de 2021.
↑ Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
↑ «A285314 - OEIS». oeis.org. Consultado el 8 de abril de 2021.
↑ J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
↑ P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

Bibliografía

Zsigmondy, K. (1 de diciembre de 1892). «Zur Theorie der Potenzreste». Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán) 3 (1): 265-284. ISSN 1436-5081. doi:10.1007/BF01692444. Consultado el 8 de abril de 2021.
Kothe, Jochen. «DigiZeitschriften: Seitenansicht». www.digizeitschriften.de (en alemán). Consultado el 8 de abril de 2021.
Roitman, Moshe (1997). «On Zsigmondy primes». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 125 (7): 1913-1919. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-97-03981-6. Consultado el 8 de abril de 2021.
Feit, Walter (1 de enero de 1988). «On large Zsigmondy primes». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 102 (1): 29-29. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1988-0915710-1. Consultado el 8 de abril de 2021.
Everest, Graham (2003). Recurrence sequences. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3387-1. OCLC 52165737. Consultado el 8 de abril de 2021.