Existen distintas fomulaciones equivalentes del teorema de Seifert-van Kampen, por lo que se muestran aquí dos, la primera inspirada en la formulación del teorema en el libro Algebraic Topology de Allen Hatcher,^[1]​ y la segunda inspirada en la formulación del teorema en la enciclopedia nLab.^[2]​ La primera será en general más útil pues permite escribir el grupo fundamental del espacio como un cociente de grupos.

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio topológico y sean ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle B}$  dos abiertos arcoconexos de ${\displaystyle X}$  tales que ${\displaystyle A\cup B=X}$  y ${\displaystyle A\cap B}$  es también arcoconexa. Sean ${\displaystyle i_{A}:A\cap B\hookrightarrow A}$  y ${\displaystyle i_{B}:A\cap B\hookrightarrow B}$  las inclusiones canónicas de la intersección en los abiertos, y sea el punto base ${\displaystyle x_{0}\in A\cap B}$ . Se tiene entonces que ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\cong ^{\pi _{1}(A,x_{0})*\pi _{1}(B,x_{0})}/_{\langle \pi _{1}(i_{A})(\omega )\pi _{1}(i_{B})(\omega )^{-1}\ |\ \omega \in \pi _{1}(A\cap B,x_{0})\rangle }}$ 

En esta formulación del teorema se usa la notación ${\displaystyle \pi _{1}(f)}$  para hacer referencia al morfismo de grupos indicido por ${\displaystyle f}$ . Además, por ser ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  y ${\displaystyle A\cap B}$  arcoconexos, podríamos omitir la notación de punto base, pues los grupos fundamentales no dependerán de él.

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio topológico recubierto por dos abiertos ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle B}$  tales que ${\displaystyle A\cap B}$  es arcoconexa. Entonces, para todo punto base ${\displaystyle x_{0}\in A\cap B}$ , el diagrama

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi _{1}(A\cap B,x_{0})&\longrightarrow &\pi _{1}(A,x_{0})\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,x_{0})&\longrightarrow &\pi _{1}(X,x_{0})\end{array}}}$ 

es un pushout cuadrado en la categoría ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ .

Existe una generalización, descrita por Allen Hatcher que usa una familia de abiertos, en vez de sólo dos. Debido a que los abiertos considerados en todo momento son arcoconexos por hipótesis, se omitirá el punto base de la notación de los grupos fundamentales.

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio topológico y ${\displaystyle x_{0}}$  un punto de ${\displaystyle X}$ . Sea ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in I}}$  un recubrimiento por abiertos de ${\displaystyle X}$  (esto es que ${\displaystyle X=\bigcup _{n\in I}A_{n}}$  con cada ${\displaystyle A_{n}}$  abierto de ${\displaystyle X}$ ), tal que:

1. ${\displaystyle A_{n}}$  es arcoconexo para todo ${\displaystyle n\in I}$ ,
2. ${\displaystyle A_{n}\cap A_{m}}$  es arcoconexo para todo ${\displaystyle n,m\in I}$ ,
3. ${\displaystyle x_{0}\in A_{n}}$  para todo ${\displaystyle n\in I}$ ;

entonces el morfismo de grupos${\displaystyle \Phi :{\underset {n\in I}{*}}\pi _{1}(A_{n})\to \pi _{1}(X)}$  inducido por las inclusiones ${\displaystyle A_{n}\hookrightarrow X}$ , es sobreyectivo.

Más aún, si además ${\displaystyle A_{n}\cap A_{m}\cap A_{l}}$  es arcoconexa para todo ${\displaystyle n,m,l\in I}$ , resulta que ${\displaystyle \ker(\Phi )}$  es el subgrupo normal generado por todos los elementos de la forma ${\displaystyle \pi _{1}(i_{n})(\omega )\pi _{1}(i_{m})(\omega )^{-1}}$ , con ${\displaystyle \omega \in \pi _{1}(A_{n}\cap A_{m})}$ . Se tiene por tanto que ${\displaystyle \Phi }$  induce un isomorfismo entre ${\displaystyle ^{{\underset {n\in I}{*}}\pi _{1}(A_{n})}/_{\ker(\Phi )}}$  y ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ .

Sean ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  dos espacios topológicos, y sean ${\displaystyle x_{0}\in X}$  e ${\displaystyle y_{0}\in Y}$  puntos. Consideremos además su espacio suma putual ${\displaystyle (X\vee Y,p)}$ , donde ${\displaystyle \{p\}}$  es el resultado de la identificación de ${\displaystyle x_{0}}$  e ${\displaystyle y_{0}}$ . Si ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  son arcoconexos, y ${\displaystyle x_{0}}$  admite un entorno abierto contráctil ${\displaystyle U\subseteq X}$ , e ${\displaystyle y_{0}}$  admite un entorno abierto contráctil ${\displaystyle V\subseteq Y}$ , podemos aplicar entonces el teorema de Seifert-van Kampen usando los abiertos ${\displaystyle X\vee V}$  e ${\displaystyle Y\vee U}$ , que nos dice que, como la intersección es contráctil, ${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x_{0})*\pi _{1}(Y,y_{0})}$ .

Los casos en los que n es 0 o 1 están excuidos, ya que la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$  no es conexa y por tanto el teorema no aplica; y la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$  es un caso particular en el que el teorema de Seifert-van Kampen no puede usarse para hallar su grupo fundamental.

En el resto de casos sí puede usarse. Para ${\displaystyle n\geq 2}$ , sean ${\displaystyle \{N\}}$  y ${\displaystyle \{S\}}$  los polos norte y sur de la esfera ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ . Sean ${\displaystyle U=\mathbb {S} ^{n}-\{N\}}$  y ${\displaystyle V=\mathbb {S} ^{n}-\{P\}}$  abiertos arcoconexos de ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ . Como ${\displaystyle n\geq 2}$ , la intersección ${\displaystyle U\cap V}$  es arcoconexa, por lo que podemos aplicar el teorema de Seifert-van Kampen. Como ${\displaystyle U\cong V\cong D^{n}\simeq *}$ , se tiene que ${\displaystyle \pi _{1}(U)\cong \pi _{1}(V)\cong \{e\}}$ , por lo que ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})\cong \{e\}*\{e\}\cong \{e\}}$  para ${\displaystyle n\geq 2}$ , donde ${\displaystyle \{e\}}$  denota al grupo trivial.

Este resultado nos dice que todas las n-esferas son simplemente conexas excepto la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$  y la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ . Según sus componentes arcoconexas, el grupo fundamental de la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$  es, trivialmente, ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{0},\{(-1,0)\})\cong \pi _{1}(\mathbb {S} ^{0},\{(1,0)\})\cong \{e\}}$ , que no hace a la ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$  simplemente conexa, por no ser arcoconexa. El grupo fundamental de ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$  es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ; resultado más complicado de probar.

• Grupo fundamental
• Grupoide
• Topología algebraica

• Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids).

• Van Kampen's theorem result en PlanetMath.