La continuidad uniforme de una función se expresa como:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y))<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}$ 

donde ${\displaystyle d_{M}}$ , ${\displaystyle d_{N}}$  son las funciones distancia en los espacios métricos ${\displaystyle M}$  y ${\displaystyle N}$ , respectivamente. Si ahora asumimos que ${\displaystyle f}$  es continua en el espacio métrico compacto ${\displaystyle M}$  pero no uniformemente continua, llegaremos a contradicción. La negación de la continuidad uniforme de ${\displaystyle f}$  queda así (${\displaystyle \wedge }$  denota la conjunción lógica "y"):

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).}$ 

Fijando este ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ , para todo ${\displaystyle \delta }$  positivo tenemos un par de puntos ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  en ${\displaystyle M}$  con las propiedades arriba descritas. Si elegimos ${\displaystyle \delta =1/n}$  para ${\displaystyle n=1,2,3,...}$  obtenemos dos sucesiones ${\displaystyle \{x_{n}\},\{y_{n}\}}$  tales que

${\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}$ 

Como ${\displaystyle M}$  es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (${\displaystyle x_{n_{k}}}$  a ${\displaystyle x_{0}}$  y ${\displaystyle y_{n_{k}}}$  a ${\displaystyle y_{0}}$ ). Se sigue que para todo ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ 

${\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}$ 

Pero como ${\displaystyle f}$  es continua y ${\displaystyle x_{n_{k}}}$  e ${\displaystyle y_{n_{k}}}$  convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que ${\displaystyle f}$  no es uniformemente continua es absurda: entonces ${\displaystyle f}$  debe ser uniformemente continua en ${\displaystyle M}$  como afirma el teorema. ${\displaystyle \quad \square }$