Sea ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$  con ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  un conjunto abierto tal que existen sus derivadas cruzadas de cualquier orden y son continuas en ${\displaystyle A}$ , entonces para cualquier punto ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A}$  se cumple que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}f}{\partial x_{i}\,...\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{n}f}{\partial x_{j}\,...\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$ 

Sea ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$  una función de dos variables definida en un conjunto abierto ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ , si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en ${\displaystyle \Omega }$ , esto es, ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\Omega )}$  entonces estas son iguales, es decir:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\;\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\;\partial x}}}$ .

Sea

${\displaystyle p=(x_{0},y_{0})\in \Omega \,}$ .

Y sean ${\displaystyle \varepsilon \,}$  , ${\displaystyle \delta >0\,}$  reales tales que ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega \,}$ . Lo cual es posible, ya que ${\displaystyle \Omega \,}$  es un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$ .

Se definen dos funciones ${\displaystyle F\,}$  y ${\displaystyle G\,}$ 

${\displaystyle F:(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,}$ ,

${\displaystyle G:(-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,}$ ,

de modo que:

${\displaystyle F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\,}$ .

${\displaystyle G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )\,}$ ,

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

${\displaystyle F(t)-F(0)=(t-0)F'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=}$ 

${\displaystyle =ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})\,}$ ,

y análogamente:

${\displaystyle G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2})\,}$ ,

con ${\displaystyle \xi _{i}\in (0,t)\,}$  , ${\displaystyle \sigma _{i}\in (0,s)\,}$ , por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen ${\displaystyle t,s>0\,}$ .

Luego haciendo tender ${\displaystyle t\,}$  y ${\displaystyle s\,}$  a ${\displaystyle 0\,}$  se logra la demostración.

• Matriz hessiana
• Derivada parcial