Tensor_de_dos_puntos Knowpia

Un tensor de dos puntos (o también vector doble), es un elemento similar a un tensor que se transforman como un vector con respecto a cada uno de sus índices. Se utiliza en mecánica de medios continuos para pasar desde las coordenadas de referencia iniciales ("material") a las coordenadas del estado del sólido en un momento dado ("configuración").^[1] Ejemplos de su utilización incluyen la teoría de la deformación finita y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff.^[2]

Como ocurre con muchas aplicaciones tensoriales se les suele aplicar el convenio de suma de Einstein. Para aclarar su notación, a menudo se utilizan índices con letras mayúsculas para indicar las coordenadas de referencia y con letras minúsculas para las coordenadas de estado. Por lo tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A_jM.

Mecánica continua

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas.^[3] Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas. Es decir, un tensor convencional

\mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})

,

de forma que se transforma activamente un vector u en un vector v tal que

\mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u}

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la "e").

Por el contrario, un tensor de dos puntos, G, se escribe como

\mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})

y transforma un vector, U definido en el sistema E, en un vector, v definido en el sistema e como

\mathbf {v} =\mathbf {GU}

.

Ley de transformación de un tensor de dos puntos

Supóngase que se tienen dos sistemas de coordenadas,^[4] uno denotado con una comilla y el otro no, y las componentes de un vector se transforman entre ellos como

v'_{p}=Q_{pq}v_{q}

.

Para tensores, supóngase que se tiene que

T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})

.

un tensor en el sistema $e_{i}$ . En otro sistema, sea el mismo tensor dado por

T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})

.

Se puede decir que

T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}

.

Entonces

T'=QTQ^{\mathsf {T}}

es la transformación tensorial habitual. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})

que se transforma como

F'=QF

.

Ejemplo

El ejemplo más sencilla de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en el párrafo anterior. Teniendo en cuenta que

v'_{p}=Q_{pq}u_{q}

.

Ahora, escribiendo en su totalidad,

u=u_{q}e_{q}

y también

v=v'_{p}e'_{p}

.

Esto entonces requiere que Q tenga la forma

Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})

.

Por definición de producto tensorial,

$(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}$

(1)

Entonces se puede escribir

u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})

De este modo

u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}

Incorporando (1), se obtiene que

u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}

.

Véase también

Referencias

↑ Humphrey, Jay D. Cardiovascular solid mechanics: cells, tissues, and organs. Springer Verlag, 2002.
↑ Zishun Liu (2024). Fundamentals Of Continuum Mechanics. World Scientific. pp. 172 de 388. ISBN 9789811283802. Consultado el 26 de junio de 2024.
↑ Antonio Romano, Addolorata Marasco (2014). Continuum Mechanics using Mathematica®: Fundamentals, Methods, and Applications. Springer. pp. 95 de 480. ISBN 9781493916047. Consultado el 26 de junio de 2024.
↑ Hans Stephani (1990). General Relativity: An Introduction to the Theory of Gravitational Field. Cambridge University Press. pp. 30 de 321. ISBN 9780521379410. Consultado el 26 de junio de 2024.