Como veremos a continuación, las fuerzas electromagnéticas se escriben en términos de E (campo eléctrico) y B (campo magnético).

Usando identidades de cálculo vectorial y las ecuaciones de Maxwell, se busca escribir la ley de fuerza de Lorentz de manera simétrica en los términos que contienen E y B, e introduciendo el tensor de tensiones de Maxwell, el resultado se simplifica.^[1]​

Ecuaciones de Maxwell en unidades SI en el vacío
(para referencia)

Nombre	Formato diferencial
Ley de Gauss (en el vacío)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$
Ley de Gauss del magnetismo	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Ecuación de Maxwell–Faraday (ley de Faraday de la inducción)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Ley de Ampère del circuito (en el vacío) (con la corrección de Maxwell)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

1. Empezando con la ley de la fuerza de Lorentz

   ${\displaystyle \mathbf {f} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$ 

   la fuerza por unidad de volumen para una distribución de carga desconocida es

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$ 

2. Luego, ρ y J pueden ser reemplazados por los campos E y B, usando la ley de Gauss y la ley de Ampère (de la tabla de arriba):

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \,}$ 

3. La derivada temporal se puede reescribir de modo que pueda ser interpretada físicamente, a saber, el vector de Poynting. Usando la regla del producto y ley de inducción de Faraday nos queda

   ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,}$ 

   y podemos reescribir f como

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,}$ ,

   luego agrupando términos con E y B queda

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\,}$ .

4. Un término parece estar "ausente" de la simetría en E y B, lo que se puede lograr insertando (∇ • B)B debido a la ley de gauss para el campo magnético:

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\,}$ .

   Eliminando los rotacionales (que son bastante complicados de calcular), usando la identidad vectorial:

   ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$ ,

   nos lleva a:

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\,}$ .

5. Esta expresión contiene todos los aspectos del electromagnetismo y el momento, y es relativamente fácil de calcular. Se puede escribir de forma más compacta presentando el tensor de tensiones de Maxwell,

   ${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,}$ ,

   de tal modo que la fuerza ${\displaystyle \mathbf {f} }$  sea exactamente la divergencia de ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$  más el último término:

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot \mathbf {\sigma } -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )}$ ,

   Finalmente, al introducir el vector de Poynting, ${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ , obtenemos

   ${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot \mathbf {\sigma } -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$ .

   Ha sido demostrado recientemente ^[2]​ que el tensor de Maxwell es la parte real de un tensor complejo más general cuya parte imaginaria describe las fuerzas electrodinámicas reactivas.

• Cálculo de Ricci
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos
• Vector de Poynting
• Tensor de energía-impulso
• Presión magnética

• David J. Griffiths, "Introducción a la electrodinámica", pág. 351-352, Inc. Benjamin Cummings, 2008.
• John David Jackson, "Electrodinámica clásica", 3ª ed., John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Richard Becker, "Campos e interacciones electromagnéticos", Dover Publications, 1964.