El matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863) descubrió este tipo de superficies en 1844 durante un viaje a Roma, por lo que también se suele conocer como superficie romana. Steiner nunca publicó sus descubrimiento, y sería su colega, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897), quien publicaría un artículo con los resultados de Steiner en 1863, en el mismo año de la muerte del matemático suizo.^[1]​

Existen diez tipos de superficies de Steiner (clasificados por Coffman, Schwartz y Stanton) entre los que se encuentran la gorra cruzada y la propia superficie romana de Steiner.^[2]​

La construcción más simple es la imagen de una esfera centrada en el origen bajo la acción de la función ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy)}$ . Esto lleva a la fórmula implícita:

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$ 

Además, al parametrizar la esfera en términos de longitud (${\displaystyle \theta }$ ) y latitud (${\displaystyle \phi }$ ), se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas para la superficie romana:

${\displaystyle x=r^{2}\cos(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )}$ 

${\displaystyle y=r^{2}\sin(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )}$ 

${\displaystyle z=r^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\cos ^{2}(\phi )}$ 

El origen es un punto triple, y cada uno de los planos. ${\displaystyle xy}$ , ${\displaystyle yz}$ , ${\displaystyle xz}$ , es tangente a la superficie en este punto. Los otros lugares de la auto-intersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje coordenado y terminan en seis puntos de aplastamiento. El grupo de simetría de la superficie es el del tetraedro. Más específicamente, son proyecciones lineales de una inmersión en un espacio de 5 dimensiones, llamada superficie de Veronese, que es la imagen de una esfera regular centrada en el origen.

Una superficie de Steiner es un polinomio cuadrático ${\displaystyle \,p_{i}=Au^{2}+Buv+Cv^{2}+Du+Ev+F}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3)}$  en variables ${\displaystyle u,v}$  de una superficie dada en espacio tridimensional:

${\displaystyle \,(x,y,z)=\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}},{\frac {p_{2}}{p_{0}}},{\frac {p_{3}}{p_{0}}}\right)}$ 

Construcción: dado el espacio proyectivo real, considérense las coordenadas homogéneas ${\displaystyle \,(u_{0},u_{1},u_{2})}$  en el espacio proyectivo de 5 dimensiones, con coordenadas homogéneas:

${\displaystyle (u_{0}^{2},u_{1}^{2},u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})}$ 

Por simplicidad se considerara solo el caso para ${\displaystyle r=1}$ . Se traza la esfera identificada por los tres puntos ${\displaystyle (x,y,z)}$  tal que

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$ 

Ahora se aplica la transformación a estos puntos ${\displaystyle T}$ , donde ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$ 

De esta manera, se obtiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$ 

y por lo tanto ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$ , que es la expresión buscada.

La superficie romana viene dada por:^[3]​

${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})}$ 

En coordenadas cartesianas, se tiene que:

${\displaystyle \,x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-xyz=0}$ 

Otros parámetros de la ecuación están dados por:

${\displaystyle x={\frac {s}{1+s^{2}+t^{3}}}}$ 

${\displaystyle y={\frac {s\cdot t}{1+s^{2}+t^{3}}}}$ 

${\displaystyle z={\frac {t}{1+s^{2}+t^{3}}},}$ 

Ahora, considérese una esfera de radio ${\displaystyle r}$ , cuya superficie se expresa según su longitud ${\displaystyle \phi }$  y latitud ${\displaystyle \theta }$ . Entonces, sus ecuaciones paramétricas son

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$ 

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$ 

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$ 

Entonces, aplicando la transformación ${\displaystyle T}$  en todos los puntos de esta esfera, se obtiene

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$ 

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$ 

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$ 

que son los puntos de la superficie de Steiner. Se tiene que ${\displaystyle \phi }$  vale entre ${\displaystyle 0}$  y ${\displaystyle 2\pi }$ , y que ${\displaystyle \theta }$  varía entre ${\displaystyle 0}$  y ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ .

De la parametrización de la esfera unitaria

${\displaystyle (x,y,z)=(\cos(u)\cos(v),\sin(u)\cos(v),\sin(v))}$ 

bajo la transformación ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (xy,yz,xz)=(\cos(u)\sin(u){\cos(v)}^{2},\sin(u)\cos(v)\sin(v),\cos(u)\cos(v)\sin(v)).}$ 

La gorra cruzada (o bonete) viene dada por:^[4]​

${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},2u_{0}u_{1},u_{0}^{2}-u_{1}^{2})}$ 

En coordenadas cartesianas:

${\displaystyle \,4x^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+z)+y^{2}(y^{2}+z^{2}-1)=0}$ 

El resultado de la aplicación que genera la superficie no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la figura resultante de la eliminación de seis puntos singulares sí lo es.

Antes de transformarse, la esfera no es homeomorfa con el plano proyectivo real ${\displaystyle RP^{2}}$ , mientras que la esfera centrada en el origen sí posee esta propiedad: es decir, si los puntos ${\displaystyle (x,y,z)}$  pertenecen a la esfera, sus antipodales ${\displaystyle (-x,-y,-z)}$  pertenecen a la misma esfera, pero los dos tripletes de coordenadas son diferentes y están ubicados en lados opuestos con respecto al centro de la esfera.

La transformación ${\displaystyle T}$  convierte los dos tripletes de puntos antipodales, en el punto

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$ 

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$ 

• Superficie de Veronese
• Superficie de Boy

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Superficie de Steiner.
• «Conversione di una Superficie romana di Steiner in una Superficie di Boy». Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2006. Consultado el 16 de marzo de 2020. 
• A. Coffman, "Steiner Surfaces"
• Weisstein, Eric W. «Roman Surface». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Roman Surfaces at the National Curve Bank (website of the California State University)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.