Sea ${\displaystyle V_{}^{}}$  un espacio vectorial sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$  y ${\displaystyle U\subset V}$  no vacío, ${\displaystyle U_{}^{}}$  es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$  si:

${\displaystyle i)\;\;\forall u,v\in U,u+v\in U}$ 

${\displaystyle ii)\;\forall u\in U,\forall k\in K,ku\in U}$ 

• Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Notaciones

Dado ${\displaystyle F\,}$  un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje ${\displaystyle F+F\subset F}$ , e incluso ${\displaystyle F+F=F}$  es correcto.

Para ii) el abuso de lenguaje ${\displaystyle \lambda F\subset F}$ , e incluso ${\displaystyle \lambda F=F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\}}$  es correcto.

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Dado el espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , sus elementos son del tipo ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$ .

•  
  ${\displaystyle {\vec {0}},u}$  y ${\displaystyle \lambda u}$  están alineados, ${\displaystyle \forall u\in \mathbb {R} ^{2}}$ , ${\displaystyle \forall \lambda \in K.}$ 
•  
  ${\displaystyle {\vec {0}},u,v}$  y ${\displaystyle u+v}$  forman un paralelogramo si no están alineados, ${\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.}$ 
•  
  Suma de 3 elementos.

El subconjunto

${\displaystyle U=\{(a,b):a+b=0\}}$ .

es un subespacio vectorial.

El subconjunto

${\displaystyle C=\{(a,b):b=a^{2}\}}$ 

no es un subespacio vectorial.

Sea ${\displaystyle V_{}^{}}$  un espacio vectorial. Asumimos que ${\displaystyle V_{}^{}}$  es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.

1) {0} es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$ . Es llamado el subespacio trivial de ${\displaystyle V_{}^{}}$ .

2) ${\displaystyle V_{}^{}}$  en sí es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$ .

3) Si fijamos ${\displaystyle v}$  ${\displaystyle \in V}$ . Entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu v} \in V\colon \mu \in \mathbb {R} \right\}}$  es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$ .

4) Más generalmente, si fijamos ${\displaystyle v_{1}}$ , ..., ${\displaystyle v_{k}}$  ${\displaystyle \in V}$ , entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$  es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$ . Este conjunto es llamado el generador lineal de ${\displaystyle v_{1}}$ , ..., ${\displaystyle v_{k}}$ .

5) Si fijamos ${\displaystyle z_{0}}$  y ${\displaystyle v_{1}}$ , ..., ${\displaystyle v_{k}}$  ${\displaystyle \in V}$ , entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{z_{0}+\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle z_{0}}$  ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$  es un subespacio afín de ${\displaystyle V_{}^{}}$ . En general, no será un subespacio.

6) Si ${\displaystyle W_{}^{}}$  es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$ , entonces ${\displaystyle V_{}^{}\setminus W_{}^{}}$  no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que ${\displaystyle W_{}^{}}$  debe que contener el 0, pero ${\displaystyle V_{}^{}\setminus W_{}^{}}$  no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

Sea ${\displaystyle (V,+,K,*)}$  un espacio vectorial; ${\displaystyle (S,+,K,*)}$  y ${\displaystyle (W,+,K,*)}$  subespacios vectoriales de ${\displaystyle V}$ , se definen las siguientes operaciones:

${\displaystyle S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$ 
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

${\displaystyle S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$ 
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

${\displaystyle S+W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}}$ 
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".^[1]​
Es decir que si ${\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W}$ 
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Se dice que los subespacios ${\displaystyle S}$  y ${\displaystyle W}$ son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}}$ 

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios ${\displaystyle S}$  y ${\displaystyle W}$  será igual a la dimensión del subespacio ${\displaystyle S}$  más la dimensión del subespacio ${\displaystyle W}$  menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

${\displaystyle \dim(S+W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S\cap W)}$ 

Por ejemplo, siendo ${\displaystyle \dim(S)=3}$  y ${\displaystyle \dim(W)=2}$  y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, ${\displaystyle \dim(S+W)=4}$ .

En el caso particular de la suma directa, como ${\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0}$ .
La fórmula de Grassmann resulta:

${\displaystyle \dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)}$ 

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría ${\displaystyle \dim(S\oplus W)=5}$ .

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