Regla de la cadena

Summary

En matemáticas, dentro del dominio del análisis, la regla de la cadena (también conocida como el teorema de las funciones compuestas) es una fórmula explícita de la derivada de una función compuesta por dos funciones derivables.

Esta regla permite conocer la j-ésima derivada parcial de la i-ésima aplicación parcial de la composición de dos funciones de varias variables. Esquemáticamente, si una variable depende de una segunda variable , la cual depende de una variable , la tasa de cambio de respecto a se calcula como el producto de la tasa de cambio de respecto a y de la tasa de cambio de respecto a , esto es: .

La regla de la cadena proviene de la técnica de integración por cambio de variables.

Notaciones

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Existen muchas formas de escribir la regla de la cadena, presentaremos aquí las formas clásicas.

Si   y   son funciones diferenciables, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición   en términos de la derivada de  ,   y el producto de funciones como

 

Alternativamente, si   (equivalente a   para toda  ) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como

 

La regla de la cadena también puede ser escrita en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable   depende de una variable   y a su vez esta depende de   (esto es   y   son variables dependientes) entonces   también depende de  , en tal caso, la regla de la cadena enuncia que

 

y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada

 

Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si   y   (esto es  ) entonces

 

y

 

Enunciado

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Caso real

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Teorema

Sean   y   dos intervalos abiertos de  ,   y   dos funciones tales que  , y   es un punto de  .

Si   es diferenciable en   y   es diferenciable en   entonces la composición   es diferenciable en   y

 ,

donde   es el producto usual de  .

Si las funciones son diferenciables en todo su dominio podemos escribir de una forma más general  . Bajo esta misma condición, utilizando la notación de Leibniz si denotamos como   tenemos que la regla de la cadena puede escribirse como  

donde   indica que   depende de   como si   fuera una variable. Para una mejor lectura es común hacer   y obtenemos:

 .

Si queremos componer muchas funciones podemos hacer lo siguiente: dadas   funciones   y la función compuesta  , si cada función   es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)

 

Caso general

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Teorema

Sean E, F dos espacios vectoriales normados y G un espacio vectorial topológico separable. Sean U un abierto de E, V un abierto de F, g una aplicación de U en V, f una aplicación de V en G, y a un punto de U. Si g es diferenciable en el punto a y f diferenciable en el punto g(a) entonces fg es diferenciable en el punto a, y

 .

En particular si  ,   y  , la matriz jacobiana de   en el punto   es el producto de aquella de   en el punto   por la de   en el punto  , podemos escribir esto en la forma siguiente

  :
 

para todo   e  .

Derivadas de orden superior

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La fórmula de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Suponga que   y   entonces

 
 
 
 

Demostración

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Caso Real

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Denotemos  . Dado que   es diferenciable en  , desde la definición de la derivada, existe una función   tal que

 .

En particular (utilizando que   es continua en   puesto que ella es diferenciable en ese punto):

 .

La tasa de variación en el punto   de la función   se expresa entonces bajo la forma:

 

Y cuando   tiende hacia   (para valores distintos de  ), esta expresión tiende hacia  .

Observación

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Existe una demostración de este teorema, aparentemente más simple que utiliza la astucia

 ,

pero esta demostración es errónea porque ella supone que   para todo   suficientemente cerca de  , lo cual no tiene ninguna razón de ser. Por ejemplo, una función constante. También podemos considerar el caso de la función   dada por

 

en donde podemos notar que   para todo  .

Caso General

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Denotemos   y  . Entonces:

  •   y   son lineales y continuas, en particular:   y   (con la notación O de Landau),
  •  ,
  •  .

En consecuencia:

  •   es lineal y continua,
  •  ,
  •   y  .

Observación

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En este enunciado y su demostración, no es necesario que   sea un espacio vectorial normado: es suficiente que sea un espacio vectorial topológico separable.

Ejemplos

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Regla del cociente

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La regla de la cadena puede ser utilizada para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto; para esto, consideremos las funciones   con   para todo  , escribimos entonces el cociente   como el producto  , utilizando primero la regla del producto:

 

para todo  . Para calcular la derivada de la función   notemos que puede escribirse como la composición de   con la función recíproco  , cuya derivada es  , aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como

 

para todo  , que es la fórmula de la regla del cociente.

Derivada de funciones inversas

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Considere la función diferenciable e invertible   con   intervalos abiertos con inversa diferenciable  . Existe una fórmula para la derivada de   en términos de la derivada de  , para esto, note que   y   satisfacen la ecuación

 

en donde derivando ambas expresiones obtenemos

 

Para expresar   como una función de una variable independiente  , escribimos   y resolvemos para  

 

para todo  .

Observación

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Es importante tener en mente las condiciones de diferenciabilidad de ambas funciones   y   en sus respectivos dominios, la invertibilidad y diferenciabilidad de una función no implica que esta última condición sea satisfecha por su inversa (conocido es el caso de la función   la cual es diferenciable e invertible pero su inversa no es diferenciable en  ).

Ejemplo

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Por ejemplo, considere la función  , esta tiene función inversa  , como   entonces por la fórmula anterior

 

Ejemplo conceptual

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Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico

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Sean las funciones   y   dadas por

 

y deseamos calcular  .

Por un lado tenemos:

 

y

 

como

 

entonces

 

y esto es para todo   tal que  , es decir, para todo  .

Véase también

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Referencias

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Enlaces externos

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  •   Datos: Q207455