Recordemos que para probar que la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$  converge uniformemente a ${\displaystyle F}$  en ${\displaystyle A}$  tenemos que probar que la sucesión de sumas parciales ${\displaystyle \{S_{n}\}=\{\sum _{i=1}^{n}f_{i}\}}$  (que en este caso es una sucesión de funciones) converge uniformemente a ${\displaystyle F}$  en ${\displaystyle A}$ . Para esto podemos ver que la sucesión ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x)|:x\in A\}}$  converge a ${\displaystyle 0}$ .

Para cada ${\displaystyle x\in A}$ , tenemos:

${\displaystyle \left|F(x)-S_{m}(x)\right|=\left|F(x)-\left(\sum _{i=1}^{m}f_{i}(x)\right)\right|=\left|\sum _{n=m+1}^{+\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}}$ 

Por tanto, ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x):x\in A\}\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}\rightarrow 0}$ .

Por tanto, ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$  converge uniformemente a ${\displaystyle F}$  en ${\displaystyle A}$ .