Dado es una cantidad abierta ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$  y un resultado ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  funciones armónicas ${\displaystyle {u_{n}}\colon \,D\to \mathbb {R} }$  ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$ , que crece monótonamente punto por punto:

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq ...}$    ${\displaystyle (z\in D)}$ 

Ser para ${\displaystyle z\in D}$ 

${\displaystyle u(z)=\sup _{n\in \mathbb {N} }{u_{n}(z)}=\lim _{n\to \infty }{u_{n}(z)}}$   

Adelante

${\displaystyle D_{0}=\{z\in D\colon \,u(z)<\infty \}}$   

y

${\displaystyle D_{1}=\{z\in D\colon \,u(z)=\infty \}}$   

Entonces:

(1) Ambos ${\displaystyle u}$    también ${\displaystyle D_{1}}$  están abiertos y bloqueados en ${\displaystyle D}$   .

(2) En caso de que ${\displaystyle D}$  un área de ${\displaystyle \mathbb {C} }$  es, es o es siempre ${\displaystyle u(z)=\infty }$  para ${\displaystyle z\in D}$ , o siempre ${\displaystyle u(z)<\infty }$  para ${\displaystyle z\in D}$ . ,

(3) Es ${\displaystyle D}$  un área de ${\displaystyle \mathbb {C} }$  y aplica ${\displaystyle u(z_{0})<\infty }$  para uno ${\displaystyle z_{0}\in D}$ , la secuencia de funciones es localmente uniformemente convergente y la función límite ${\displaystyle u}$    es también una función armónica.

Como el propio Axel Harnack sugiere,^[5]​ el principio correspondiente con una formulación muy similar también se aplica al caso de las funciones armónicas en conjuntos abiertos de la ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$  , Aquí la prueba se basa en la versión n-dimensional de la desigualdad de Harnack.^[6]​^[7]​