Iniciamos de la formulación en potenciales de las ecuaciones de Maxwell usando el gauge de Lorenz:

${\displaystyle \Box \varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }$ 

donde φ(r,t) es el potencial eléctrico y A(r,t) es el potencial vectorial electromagnético, para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ(r,t) y una densidad de corriente J(r,t), mientras que ${\displaystyle \Box }$  es el operador de D'Alembert. Al resolver estas ecuaciones se obtienen los potenciales retardados.

Para el caso de campos que dependen del tiempo, los potenciales retardados son:^[2]​^[3]​

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$ 

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$ 

es el tiempo retardado y d³r' indica que la integración se realiza sobre todo el espacio.

A partir de φ(r,t) y A(r,t), los campos E(r,t) y B(r,t) pueden calcularse usando la definición de los potenciales:

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$ 

Esto conduce a las ecuaciones de Jefimenko. Los potenciales adelantados correspondientes tienen una forma idéntica, a excepción de que el tiempo adelantado,

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}},}$ 

reemplaza al tiempo retardado.

En el caso de que los campos no dependan del tiempo (campos electrostáticos y magnetostáticos) las derivadas con respecto al tiempo en los operadores ${\displaystyle \Box }$  son cero, y las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}$ 

donde ∇² es el operador laplaciano, que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A). En este caso las soluciones son:

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}$ 

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$ 

Estas se obtienen también directamente de los potenciales retardados.

En el gauge de Coulomb, las ecuaciones de Maxwell son:^[2]​

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$ 

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$ 

aunque las soluciones contrastan con las de arriba, puesto que A es un potencial retardado, aun así φ cambia instantáneamente, dado por:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$ 

Esto presenta una ventaja y una desventaja del gauge de Coulomb: φ es calculable fácilmente a partir de la distribución de carga ρ, pero A no se calcula tan sencillamente a partir de la distribución de corriente J. Sin embargo, debido a que necesitamos que los potenciales se anulen en infinito, pueden expresarse en términos de los campos:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de los potenciales de Liénard-Wiechert retardados y adelantados es la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, que también se conoce como teoría de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo.

• Jackson, J. D. (1962). «Cap. 14; Radiation of Moving Charges». Classical Electrodynamics. Wiley & Sons. ISBN 0471431311. 

• Tiempo retardado.
• Potenciales de Liénard-Wiechert.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Retarded potential» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 9 de diciembre de 2014, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.