La mayoría de las familias ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert ${\displaystyle L_{w}^{2}(I)}$  de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación ${\displaystyle w(x)\,}$ . Es decir:

${\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle _{\mathcal {F}}=\int _{I\subset \mathbb {R} }p_{m}^{*}(x)p_{n}(x)w(x)\ dx=N_{m}\delta _{mn}}$ 

Donde:

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {F}}}$  es el producto escalar del espacio ${\displaystyle L_{w}^{2}(I)}$ .

${\displaystyle N_{m}\,}$  es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.

${\displaystyle \delta _{mn}\,}$  es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(y)={\frac {1}{w}}\left[-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right]}$ 

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:^[1]​

${\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0,\qquad y(x)=P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(1-x^{2})^{n},\qquad \{w=1,I=[-1,1]\}}$ 

Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:^[2]​

${\displaystyle y''-2xy'+2ny=0,\qquad y(x)=H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}},\qquad \{w=e^{-x^{2}},I=\mathbb {R} \}}$ 

• Los polinomios de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial:^[3]​

${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\qquad y(x)=L_{n}(x)=e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}),\qquad \{w=e^{-x},I=[0,\infty )\}}$ 

• Los polinomios asociados de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial:^[4]​

${\displaystyle xy''-(m+1-x)y'+(n-m)y=0,\qquad y(x)=L_{n}^{m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right),\qquad \{w=x^{m}e^{-x},I=[0,\infty )\}}$ 

Los polinomios de Chebyshev son soluciones de la ecuación diferencial:^[5]​

${\displaystyle (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0,\qquad y(x)=T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),\qquad \{w={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},I=[-1,1]\}}$ 

Los ${\displaystyle T_{n}(x)}$  se denominan polinomios de Chebyshev de primer tipo, además los polinomios de Chebyshev de segundo tipo ${\displaystyle U_{n}(x)}$  que vienen dados por:

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }},\qquad U_{n}(x)={\frac {\sin[(n+1)\arccos x]}{\sin(\arccos x)}},\qquad \{w={\sqrt {1-x^{2}}},I=[-1,1]\}}$ 

Los polinomios de Jacobi son series de polinomios ortogonales ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,beta)}}$  respecto a la función peso ${\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$  en el intervalo [-1,+1] satisfacen la ecuación diferencial:

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0}$ 

Muchos polinomios ortogonales son casos particulares de Jacobi:

• Los polinomios ultraesféricos son aquellos para los cuales ${\displaystyle \alpha =\beta }$  entre ellos están:
  • Los polinomios de Chebyshev de primer tipo tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =-1/2}$ .
  • Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =+1/2}$ .
  • Los polinomios de Legendre tienen ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ .

En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:

• Los polinomios de Hermite aparecen en mecánica cuántica como soluciones del oscilador armónico unidimensional.
• Los polinomios de Legendre y sus funciones asociadas aparecen en problemas cuánticos con simetría esférica, ya que los armónicos esféricos son funciones ortogonales sobre la esfera expresables mediante estos polinomios.

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). pp. p. 158-166. ISBN 84-7615-197-7.