Summary
En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es y cuyo segundo elemento es se denota como .
Un par ordenado no es el conjunto que contiene a los elementos y , denotado por . Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos y son idénticos, pero los pares ordenados y son distintos.
Los pares ordenados también se denominan tuplas o vectores dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.
El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.
Definición
editarLa propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:
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Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.
Producto cartesiano
editarDados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.
Generalizaciones
editarEs habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:
En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.
Definición conjuntista
editarLa condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.[1] Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.
La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:[2]
Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado .[3]
Esquemas sustitutivos
editarLa definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Véase por ejemplo Moschovakis, 2006, p. 35, donde se afirma que
Adoptamos ahora una operación (x, y) concreta específica [...] quizás el par de Kuratowski [...] quizá alguna otra: a partir de aquí podemos olvidarnos de la definición concreta elegida, lo único que importa es que la operación "par" satisface [las propiedades básicas de los pares ordenados].
- ↑ a b Introducción de Wiener, 1967
- ↑ Moschovakis, 2006, p. 35.
- ↑ Wiener, 1967
Bibliografía
editar- Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en inglés). Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
- Wiener, Norbert (1967) [1914]. «A simplification of the logic of relations». En Jean van Heijenoort, ed. From Frege to Gödel (en inglés). Cambridge University Press. LCCN 67010905.
- Enderton, Herbert (1977) [1977]. «3 Relations And Functions». En Elsevier Science, ed. Elements of ser theory (en inglés). Academic Press. 0122384407.
Bibliografía
editar- Kuratowski, Kazimierz (1921). «Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles» (PDF). Fundamenta Mathematicae (en francés) 2 (1): 161-171. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2013. Consultado el 23 de noviembre de 2014. El artículo con la definición original del par de Kuratowski.
Datos: Q191290
