Deja a ${\displaystyle K}$  ser el subcampo máximo real de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (\rho )}$  donde ${\displaystyle \rho }$  es una raíz séptima de la unidad primitiva. El anillo de los enteros de ${\displaystyle K}$  es ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$ , donde el elemento ${\displaystyle \eta =\rho +{\bar {\rho }}}$  puede ser identificado con el real positivo ${\displaystyle 2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})}$ . Deja a ${\displaystyle D}$  ser el álgebra de cuaterniones, o álgebra simbólica

${\displaystyle D:=\,(\eta ,\eta )_{K},}$ 

así que ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta }$  y ${\displaystyle ij=-ji}$  están dentro de ${\displaystyle D.}$  También deja a ${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$  y ${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$ . Deja a

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j'].}$ 

Entonces, ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$  es el orden máximo de ${\displaystyle D}$ , descrito explícitamente por Noam Elkies.^[4]​

El orden ${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$  es también generado por los elementos

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$ 

y

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$ 

De hecho, el orden es módulo ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$  libre sobre la base ${\displaystyle \,1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$ . Aquí los generadores satisfacen las relaciones

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$ 

los cuales descienden a las relaciones apropiadas en el grupo de triángulos (2,3,7), luego del cociente por el centro.

El subgrupo de congruencia principal definido por un ideal ${\displaystyle I\subset \mathbb {Z} [\eta ]}$  es por definición el grupo

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1(}$ mod ${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} })\},}$ 

es decir, el grupo de elementos de norma reducida 1 en ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$  equivalente al módulo 1 del ideal ${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ . El grupo Fuchciano es obtenido como la imagen del subgrupo de congruencia principal bajo una representación a ${\displaystyle PSL_{2}(R)}$ .

El orden fue utilizado por Nick Katz, Mary Schaps y Uzi Vishne^[5]​ para construir una familia de superficies de Hurwitz satisfaciendo un límite inferior asintótico para el sístole: ${\displaystyle sys>{\tfrac {4}{3}}\log g}$  donde ${\displaystyle g}$  es el género, mejorando un resultado previo de Peter Sarnak y Peter Buser.^[6]​