A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.

Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B^#, definida por

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\int _{B}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)}$ 

donde ${\displaystyle \langle x,z\rangle }$  es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.

De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\int z(x)z(y)\,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)=E(z(x)z(y))}$ 

donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal ${\displaystyle u\mapsto u(x)}$  evaluado en z.

El operador covarianza ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}}$  de ${\displaystyle \mu }$  está definido por:

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)}$ 

para ${\displaystyle \varphi ,\xi \in U^{*}}$ , donde ${\displaystyle a_{\mu }}$  denota el valor esperado de ${\displaystyle \mu }$ 

${\displaystyle a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$ ^[2]​

El operador induce una aplicación simétrica ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R} }$  a través de ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$ , que es bilineal y definida, se llama covarianza.

Sean ${\displaystyle a_{\mu }}$  y ${\displaystyle \varphi }$  acotados. Si ${\displaystyle U}$  es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para ${\displaystyle \varphi \in U^{*}}$  se cumple que ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$  para todo ${\displaystyle x\in U}$  y ${\displaystyle h\in U}$  y ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$  para ${\displaystyle m\in U}$ , y por lo tanto

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{U}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$ 

para todos los ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in U}$ .^[3]​

• Espacio de Wiener abstracto
• Teorema de Cameron-Martin
• Teorema de Feldman-Hájek
• Teorema de estructura para medidas gaussianas