Un monoide ${\displaystyle (A,\circledcirc )}$  es una estructura algebraica en la que ${\displaystyle A\,}$  es un conjunto y ${\displaystyle \circledcirc }$  es una operación binaria interna en ${\displaystyle A\,}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$ 

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):^[1]​

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:

${\displaystyle A=\{d,e,f,g,5,8,9\}}$ 

Cadenas del alfabeto^[2]​ A, que representamos C(A) pueden ser:

${\displaystyle \langle fdggdd\rangle }$ 

${\displaystyle \langle df5d8\rangle }$ 

${\displaystyle \langle 888\rangle }$ 

${\displaystyle \langle eeefeffe\rangle }$ 

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

${\displaystyle \langle \rangle }$ 

Definimos la operación ${\displaystyle \|}$  de concatenación de cadenas del alfabeto A como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\|:&C(A)\times C(A)&\to &C(A)\\&(a,b)&\to &c=a\|b\end{array}}}$ 

que podemos representar, de las siguientes formas:

• ${\displaystyle \langle egdd\rangle \|\langle dfdf\rangle \;\to \;\langle egdddfdf\rangle }$ 

• ${\displaystyle \langle 589\rangle \|\langle gg\rangle \;\to \;\langle 589gg\rangle }$ 

podemos ver que ${\displaystyle (C(A),\|)}$  tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:

${\displaystyle \forall a,b\in C(A):\quad a\|b\in C(A)}$ .

2.- Es asociativa:

${\displaystyle \forall a,b,c\in C(A):\quad a\|(b\|c)=(a\|b)\|c\;}$ 

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía ${\displaystyle \langle \rangle }$  de A, de modo que:

${\displaystyle \forall a\in C(A):\quad \exists \,\langle \rangle :\quad \langle \rangle \|a=a\|\langle \rangle =a}$ 

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:

${\displaystyle a,b\in C(A):\quad a\|b\neq b\|a}$ 

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Partiendo del conjunto de los números naturales:

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}\,}$ 

y la operación multiplicación, podemos ver que: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$  es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} :\quad a\times b\in \mathbb {N} }$ .

2.- Es asociativa:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\;}$ 

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

${\displaystyle \exists \,1\in \mathbb {N} :\quad \forall a\in \mathbb {N} :\quad 1\times a=a\times 1=a}$ 

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\times b=b\times a\;}$ 

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

Un monoide también se puede ver como un tipo particular de categoría. Concretamente, un monoide se puede definir como una categoría con un único objeto.

Dados una categoría ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$  y un objeto suyo ${\displaystyle A}$ , todos los morfismos de ${\displaystyle A}$  en ${\displaystyle A}$  forman un conjunto ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,A)}$ . Sobre este conjunto, la composición de morfismos define una operación binaria interna. Debido a los axiomas de la teoría de categorías, la composición de morfismos es asociativa y debe existir un morfismo identidad ${\displaystyle 1_{A}:A\to A}$ , por lo que el conjunto ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,A)}$  equipado con la composición de morfismos constituye un monoide.

De esta forma, toda categoría con un único objeto ${\displaystyle A}$  da lugar a un monoide al tomar el conjunto de morfismos ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,A)}$ . También es posible ir en la dirección opuesta y definir, a partir de un monoide ${\displaystyle M}$ , una categoría con un único objeto ${\displaystyle A}$  tal que ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,A)=M}$ , justificando así la definición alternativa de monoide en términos de categorías.

Una categoría monoidal es una categoría ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ , equipada con un bifuntor ${\displaystyle \otimes :{\mathsf {C}}\times {\mathsf {C}}\to {\mathsf {C}}}$ , que satisface propiedades análogas a las de la operación binaria en un monoide. Dos ejemplos son:

1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
2. La categoría ${\displaystyle \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }}$  de los espacios vectoriales sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$  junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a ${\displaystyle \mathbb {K} }$  como el elemento neutro.

1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)

• Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide
• CIENCIA.NET: Monoide (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).