La tesis de Louis Bachelier ^[2]​en 1900 fue la primera publicación en aplicar el movimiento browniano a la valoración de derivados, aunque su trabajo tuvo poco impacto durante muchos años e incluía limitaciones importantes para su aplicación a los mercados modernos.^[3]​ En la década de 1960, Case Sprenkle,^[4]​ James Boness,^[5]​ Paul Samuelson y el entonces estudiante de doctorado de Samuelson, Robert C. Merton,^[6]​ realizaron importantes contribuciones a la teoría de valoración de opciones.

Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, creando el argumento de neutralidad al riesgo.^[7]​ Basaron su pensamiento en trabajos previos realizados por investigadores y practicantes del mercado, incluidos los trabajos mencionados anteriormente, así como en el trabajo de Sheen Kassouf y Edward O. Thorp. Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a una falta de gestión de riesgo en sus operaciones. En 1970, decidieron regresar al entorno académico. Después de tres años de esfuerzos, la fórmula —que lleva su nombre en su honor por hacerla pública— fue finalmente publicada en 1973 en un artículo titulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" en el Journal of Political Economy. Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de opciones Black-Scholes".^[6]​

La fórmula condujo a un auge en el trading de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo.^[8]​

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997 por su trabajo, citando el comité su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente.^[9]​ Aunque no era elegible para el premio debido a su fallecimiento en 1995, Black fue mencionado como contribuyente por la Royal Swedish Academy of Sciences.^[10]​

El modelo Black-Scholes asume que el mercado consiste en al menos un activo riesgoso, usualmente llamado acción, y un activo libre de riesgo, usualmente llamado mercado monetario, efectivo o bono.

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

• Tasa libre de riesgo: La tasa de rendimiento del activo libre de riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés libre de riesgo.
• Marcha aleatoria (Random walk): El rendimiento logarítmico instantáneo del precio de la acción es una marcha aleatoria infinitesimal con deriva (drift); más precisamente, el precio de la acción sigue un movimiento browniano geométrico, y se supone que la deriva y la volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad varían con el tiempo, se puede deducir una fórmula de Black-Scholes modificada adecuadamente, siempre que la volatilidad no sea aleatoria.
• La acción no paga dividendos.^[11]​

• No hay oportunidades de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener una ganancia libre de riesgo superior a la tasa libre de riesgo).
• Posibilidad de pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a la tasa libre de riesgo.
• Posibilidad de comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de la acción (esto incluye las ventas en corto -short selling-).
• Las transacciones anteriores no incurren en comisiones ni costos (es decir, mercado sin fricciones).

Con estas suposiciones, suponga que también hay un valor derivado que se negocia en este mercado. Se especifica que este valor tendrá un pago determinado en una fecha futura específica, dependiendo de los valores de la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce la trayectoria que tomará el precio de la acción en el futuro, el precio del derivado puede determinarse en el momento actual. Para el caso especial de una opción de compra (call) o venta (put) europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta, que consiste en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá del precio de la acción".^[12]​ Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas, los costos de transacción y los impuestos, y el pago de dividendos.^[13]​

La notación utilizada en el análisis del modelo Black-Scholes se define a continuación (definiciones agrupadas por tema):

${\displaystyle t}$  es un tiempo en años; siendo ${\displaystyle t=0}$  generalmente el año presente.

${\displaystyle r}$  es el tipo de interés libre de riesgo anualizado, compuesto de forma continua (también conocido como fuerza del interés).

${\displaystyle S(t)}$  es el precio del activo subyacente en el tiempo *t*, también denotado como ${\displaystyle S_{t}}$ .

${\displaystyle \mu }$  es la tasa de deriva (drift) de ${\displaystyle S}$ , anualizada.

${\displaystyle \sigma }$  es la desviación estándar de los rendimientos de la acción. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precio logarítmico de la acción, una medida de su volatilidad.

${\displaystyle V(S,t)}$  es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el tiempo en t particular.

${\displaystyle C(S,t)}$  es el precio de una opción de compra (call) europea.

${\displaystyle P(S,t)}$  es el precio de una opción de venta (put) europea.

${\displaystyle T}$  es el tiempo de expiración de la opción.

${\displaystyle \tau }$  es el tiempo hasta el vencimiento: ${\displaystyle \tau =T-t}$ .

${\displaystyle K}$  es el precio de ejercicio (strike) de la opción.

${\displaystyle N(x)}$  denota la función de distribución acumulativa normal estándar:

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$ 

${\displaystyle N'(x)}$  denota la función de densidad de probabilidad normal estándar:

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$ 

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe el precio ${\displaystyle V(S,t)}$  de la opción, donde ${\displaystyle S}$  es el precio del activo subyacente y ${\displaystyle t}$  es el tiempo:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$ 

La idea financiera clave detrás de la ecuación es que se puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de cuenta bancaria (efectivo) de tal manera que se "elimine el riesgo". Esto implica que existe un precio único para la opción dado por la fórmula de Black-Scholes.

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de venta y compra europeas. Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes. Esto se cumple ya que la fórmula puede obtenerse resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$ 

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos, en términos de los parámetros de Black-Scholes, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$ 

El precio de una opción de venta correspondiente, basado en la paridad put-call con factor de descuento ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$  es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,}$ 

La introducción de variables auxiliares permite simplificar la fórmula y reformularla en una forma que puede ser más conveniente (este es un caso especial de la fórmula de Black '76):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$ 

donde:

${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$  es el factor de descuento

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$  es el precio a plazo del activo subyacente, y ${\displaystyle S=DF}$ 

Dada la paridad put–call, que se expresa en estos términos como:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$ 

el precio de una opción put es:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$ 

Es posible obtener interpretaciones intuitivas de la fórmula de Black–Scholes, con la principal sutileza siendo la interpretación de ${\displaystyle d_{\pm }}$  y por qué existen dos términos distintos.^[14]​

La fórmula puede interpretarse descomponiendo primero una opción call en la diferencia de dos opciones binarias: una asset-or-nothing call menos una cash-or-nothing call (larga en una asset-or-nothing call, corta en una cash-or-nothing call). Una opción call intercambia efectivo por un activo en el vencimiento, mientras que una asset-or-nothing call solo entrega el activo (sin efectivo a cambio) y una cash-or-nothing call solo entrega efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black–Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales a los valores de las opciones call binarias. Estas opciones binarias se negocian con menor frecuencia que las opciones vanilla, pero son más fáciles de analizar.

Así, la fórmula:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$ 

se descompone como:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$ 

donde ${\displaystyle DN(d_{+})F}$  es el valor presente de una asset-or-nothing call y ${\displaystyle DN(d_{-})K}$  es el valor presente de una cash-or-nothing call. El factor D corresponde al descuento, porque la fecha de vencimiento está en el futuro, y al eliminarlo se transforma el valor presente en futuro (valor al vencimiento). Así, ${\displaystyle N(d_{+})~F}$  es el valor futuro de una asset-or-nothing call y ${\displaystyle N(d_{-})~K}$  es el valor futuro de una cash-or-nothing call. En términos de neutralidad al riesgo, estos corresponden al valor esperado del activo y al valor esperado del efectivo en la medida neutral al riesgo.

Una interpretación ingenua y ligeramente incorrecta de estos términos es que ${\displaystyle N(d_{+})F}$  es la probabilidad de que la opción expire en dinero ${\displaystyle N(d_{+})}$ , multiplicada por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras que ${\displaystyle N(d_{-})K}$  es la probabilidad de que la opción expire en dinero ${\displaystyle N(d_{-}),}$  multiplicada por el valor del efectivo al vencimiento K. Esta interpretación es incorrecta porque o bien ambos binarios expiran en dinero o bien ambos expiran fuera de dinero (ya sea que se intercambie efectivo por el activo o no), pero las probabilidades ${\displaystyle N(d_{+})}$  y ${\displaystyle N(d_{-})}$  no son iguales. De hecho, ${\displaystyle d_{\pm }}$  puede interpretarse como una medida de moneyness (en desviaciones estándar) y ${\displaystyle N(d_{\pm })}$  como probabilidades de expirar en dinero (moneyness porcentual), en el respectivo numerario, como se discute a continuación. En términos simples, la interpretación de la opción de efectivo, ${\displaystyle N(d_{-})K}$ , es correcta, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del activo subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un simple producto de "probabilidad por valor", mientras que la interpretación de ${\displaystyle N(d_{+})F}$  es más complicada, ya que la probabilidad de expirar en dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. ^[14]​Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo en sí (una cantidad fija del activo), y por lo tanto estas cantidades son independientes si se cambia el numerario al activo en lugar del efectivo.

Si se utiliza el precio spot S en lugar del precio forward F, en ${\displaystyle d_{\pm }}$  en lugar del término ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$  existe ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$  que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral al riesgo para el numerario apropiado). El uso de d₋ para el moneyness en lugar del moneyness estandarizado ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$  – en otras palabras, la razón del factor ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$  – se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico. Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que reemplazar ${\displaystyle N(d_{+})}$  por ${\displaystyle N(d_{-})}$  en la fórmula produce un valor negativo para las opciones de compra fuera de dinero.^[14]​

En detalle, los términos ${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$  son las probabilidades de que la opción expire en dinero bajo la medida de probabilidad martingala equivalente exponencial (numerario=acciones) y la medida de probabilidad martingala equivalente (numerario=activo libre de riesgo), respectivamente.^[14]​ La densidad de probabilidad neutral al riesgo para el precio de la acción ${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$  es

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$ 

donde ${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$  se define como anteriormente.

Específicamente, ${\displaystyle N(d_{-})}$  es la probabilidad de que la opción de compra sea ejercida siempre que se asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. Sin embargo, ${\displaystyle N(d_{+})}$  no se presta a una interpretación de probabilidad simple. ${\displaystyle SN(d_{+})}$  se interpreta correctamente como el valor presente, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio.^[15]​ Para una discusión relacionada – y una representación gráfica – consultar el método Datar–Mathews para la valoración de opciones reales.

La medida de probabilidad martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo. Nótese que ambas son probabilidades en un sentido de la teoría de la medida, y ninguna de ellas es la probabilidad real de expirar en dinero bajo la medida de probabilidad física ("real"). Para calcular la probabilidad bajo la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, equivalentemente, el precio de mercado del riesgo.

Una derivación estándar para resolver la EDP de Black-Scholes se proporciona en el artículo Ecuación de Black-Scholes.

La fórmula de Feynman-Kac establece que la solución a este tipo de EDP, cuando se descuenta apropiadamente, es en realidad una martingala. Por lo tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad al riesgo y puede realizarse sin el conocimiento de EDPs. ^[14]​ Nótese que la expectativa del pago de la opción no se realiza bajo la medida de probabilidad del mundo real, sino bajo una medida artificial neutral al riesgo, que difiere de la medida del mundo real.

Los parámetros de la fórmula de Black–Scholes pueden diferenciarse con respecto a las variables de entrada para obtener las llamadas “Greeks”, que miden la sensibilidad del precio de la opción a diferentes factores. Estas sensibilidades son fundamentales en la gestión de riesgos y en las estrategias de cobertura.

La delta de una opción mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en el precio del activo subyacente. Para una call europea:

${\displaystyle \Delta _{\text{call}}=N(d_{+})}$ 

Para una put europea:

${\displaystyle \Delta _{\text{put}}=N(d_{+})-1}$ 

La delta puede interpretarse como la cobertura óptima: cuántas unidades del activo subyacente deben comprarse o venderse para cubrir una opción.

La gamma mide la tasa de cambio de la delta con respecto al precio del activo subyacente:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {N'(d_{+})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$ 

La gamma es la misma tanto para calls como para puts, y mide la convexidad de la posición con respecto al activo subyacente.

La theta mide la sensibilidad del precio de la opción con respecto al paso del tiempo (decaimiento temporal). Para una call europea:

${\displaystyle \Theta _{\text{call}}=-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }N(d_{-})}$ 

Para una put europea:

${\displaystyle \Theta _{\text{put}}=-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }N(-d_{-})}$ 

La theta suele ser negativa, reflejando la pérdida de valor de una opción a medida que se acerca el vencimiento.

La vega mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en la volatilidad del activo subyacente:

${\displaystyle \nu =SN'(d_{+}){\sqrt {\tau }}}$ 

Es la misma para calls y puts, y siempre positiva, ya que una mayor volatilidad incrementa el valor de la opción.

La rho mide la sensibilidad del precio de la opción con respecto a cambios en la tasa de interés libre de riesgo. Para una call europea:

${\displaystyle \rho _{\text{call}}=K\tau e^{-r\tau }N(d_{-})}$ 

Para una put europea:

${\displaystyle \rho _{\text{put}}=-K\tau e^{-r\tau }N(-d_{-})}$ 

El modelo anterior puede extenderse para tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también puede utilizarse para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, existen soluciones en forma cerrada si el dividendo es una proporción conocida del precio de la acción. Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y existe una variedad de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, modelos de lattice y mallas de diferencias finitas).

Para opciones sobre índices, es razonable hacer la suposición simplificadora de que los dividendos se pagan de forma continua y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendos pagado durante el período de tiempo ${\displaystyle [t,t+dt]}$  se modela entonces como:

${\displaystyle qS_{t},dt}$ 

para alguna constante ${\displaystyle q}$  (el rendimiento por dividendo).

Bajo esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje implícito por el modelo de Black-Scholes es:

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],}$ 

y

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})],}$ 

donde ahora

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)},}$ 

es el precio forward modificado que aparece en los términos ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ :

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$ 

y

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$ .^[16]​

También es posible extender el marco de Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción es emitida sobre una sola acción.

Un modelo típico es asumir que una proporción ${\displaystyle \delta }$  del precio de la acción se paga en momentos predeterminados ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$ . El precio de la acción se modela entonces como:

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$ 

donde ${\displaystyle n(t)}$  es el número de dividendos que se han pagado en el tiempo ${\displaystyle t}$ .

El precio de una opción de compra sobre dicha acción es nuevamente:

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],}$ 

donde ahora

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT},}$ 

es el precio forward para la acción que paga dividendos.

El problema de encontrar el precio de una opción americana está relacionado con el problema de parada óptima de encontrar el momento para ejercer la opción. Dado que la opción americana puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$ ^[17]​

junto con ${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$  donde ${\displaystyle H(S)}$  denota el payoff (pago) al precio de la acción ${\displaystyle S}$  y la condición terminal: ${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$ .

En general, esta desigualdad no tiene una solución en forma cerrada, aunque una opción de compra americana sin dividendos es igual a una opción de compra europea, y el método de Roll-Geske-Whaley proporciona una solución para una opción de compra americana con un dividendo;^[18]​^[19]​ véase también Aproximación de Black.

Barone-Adesi y Whaley^[20]​ es una fórmula de aproximación adicional. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima de ejercicio anticipado. Con algunas suposiciones, se obtiene una ecuación cuadrática que aproxima la solución para este último. Esta solución implica encontrar el valor crítico, ${\displaystyle s*}$ , tal que uno es indiferente entre el ejercicio anticipado y la conservación hasta el vencimiento.^[21]​^[22]​

Bjerksund y Stensland^[23]​ proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación (trigger price). Aquí, si el precio del activo subyacente es mayor o igual al precio de activación, es óptimo ejercer, y el valor debe ser igual a ${\displaystyle S-X}$ ; de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción de compra europea up-and-out (de activación por arriba)... y (ii) un reembolso que se recibe en la fecha de activación si la opción es activada antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción de venta, utilizando la paridad put-call. Esta aproximación es computacionalmente económica y el método es rápido, existiendo evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa en la valoración de opciones a largo plazo que la de Barone-Adesi y Whaley.^[24]​

A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones de venta americanas, es posible derivar dicha fórmula para el caso de una opción perpetua, lo que significa que la opción nunca vence (es decir, ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ).^[25]​ En este caso, la decadencia temporal de la opción es igual a cero, lo que lleva a que la EDP de Black-Scholes se convierta en una EDO: $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0}$$  Sea ${\displaystyle S_{-}}$  el límite inferior de ejercicio, por debajo del cual es óptimo ejercer la opción. Las condiciones de contorno son: $${\displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},\quad {dV \over {dS}}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K}$$  Las soluciones de la EDO son una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes: $${\displaystyle V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$  Para ${\displaystyle S_{-}\leq S}$ , la sustitución de esta solución en la EDO para ${\displaystyle i={1,2}}$  produce: $${\displaystyle \left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0}$$  Reordenando los términos se obtiene: $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0}$$  Usando la fórmula cuadrática, las soluciones para ${\displaystyle \lambda _{i}}$  son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$$  Para tener una solución finita para la venta perpetua, dado que las condiciones de contorno implican límites finitos superiores e inferiores para el valor de la venta, es necesario establecer ${\displaystyle A_{1}=0}$ , lo que lleva a la solución ${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$ . De la primera condición de contorno, se sabe que: $${\displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}}$$  Por lo tanto, el valor de la venta perpetua se convierte en: $${\displaystyle V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}}$$  La segunda condición de contorno proporciona la ubicación del límite inferior de ejercicio: $${\displaystyle {dV \over {dS}}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$  Para concluir, para ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$ , la opción de venta americana perpetua vale: $${\displaystyle V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}}$$ 

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes con la función escalón de Heaviside como condición de contorno, se termina valorando opciones que pagan una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo.^[26]​

De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra vanilla (o de venta) puede interpretarse descomponiendo una opción de compra en una opción de compra de todo-o-nada sobre el activo menos una opción de compra de todo-o-nothing en efectivo, y de manera similar para una opción de venta. Las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos en la fórmula de Black-Scholes.

Compra de todo-o-nada en efectivo (Cash-or-nothing call) Esto paga una unidad de efectivo si el precio spot está por encima del strike al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).,}$ 

Venta de todo-o-nada en efectivo (Cash-or-nothing put) Esto paga una unidad de efectivo si el precio spot está por debajo del strike al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).,}$ 

Compra de todo-o-nada sobre el activo (Asset-or-nothing call) Esto paga una unidad del activo si el precio spot está por encima del strike al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).,}$ 

Venta de todo-o-nada sobre el activo (Asset-or-nothing put) Esto paga una unidad del activo si el precio spot está por debajo del strike al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$ 

Denotando por S el tipo de cambio FOR/DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional), se puede observar que pagar una unidad de la moneda nacional si el spot al vencimiento está por encima o por debajo del strike es exactamente como una opción de compra (call) de todo-o-nada en efectivo y una opción de venta (put) de todo-o-nada en efectivo, respectivamente. De manera similar, pagar una unidad de la moneda extranjera si el spot al vencimiento está por encima o por debajo del strike es exactamente como una opción de compra de todo-o-nada sobre el activo y una opción de venta de todo-o-nada sobre el activo, respectivamente. Por lo tanto, tomando ${\displaystyle r_{f}}$  como la tasa de interés extranjera, ${\displaystyle r_{d}}$  como la tasa de interés doméstica, y el resto como antes, se pueden obtener los siguientes resultados:

En el caso de una opción digital de compra (esto es una compra FOR/venta DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

${\displaystyle C=e^{-r_{d}T}N(d_{2}),}$ 

En el caso de una opción digital de venta (esto es una venta FOR/compra DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

${\displaystyle P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2}),}$ 

En el caso de una opción digital de compra (esto es una compra FOR/venta DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente:

${\displaystyle C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1}),}$ 

En el caso de una opción digital de venta (esto es una venta FOR/compra DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente:

${\displaystyle P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1}),}$ 

En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en un mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en-el-dinero * unidad, descontado al valor presente. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora la asimetría (skewness) de la distribución del activo. Los creadores de mercado se ajustan a esta asimetría, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente ${\displaystyle \sigma }$  para todos los strikes, incorporando una variable ${\displaystyle \sigma (K)}$  donde la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así el volatility skew en el cálculo. La asimetría es importante porque afecta a las opciones binarias considerablemente más que a las opciones regulares (vanilla).

Una opción binaria de compra es, en vencimientos largos, similar a un spread de compra ajustado utilizando dos opciones vanilla. Se puede modelar el valor de una opción binaria de todo-o-nada en efectivo, C, con strike K, como un spread infinitesimalmente ajustado, donde ${\displaystyle C_{v}}$  es una opción de compra europea vanilla:^[27]​^[28]​

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$ 

Por lo tanto, el valor de una opción binaria de compra es el negativo de la derivada del precio de una opción de compra vanilla con respecto al precio de ejercicio:

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$ 

Cuando se toma en cuenta la asimetría de volatilidad (skew), ${\displaystyle \sigma }$  es una función de ${\displaystyle K}$ :

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$ 

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando la asimetría (skew):

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{sin skew}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$  es la Vega de la opción de compra vanilla; ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$  a veces se denomina "pendiente de la asimetría" o simplemente "skew". Si la asimetría es típicamente negativa, el valor de una opción binaria de compra será mayor cuando se tenga en cuenta la asimetría.

${\displaystyle C=C_{\text{sin skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$ 

Dado que una opción binaria de compra es una derivada matemática de una opción de compra vanilla con respecto al strike, el precio de una opción binaria de compra tiene la misma forma que el delta de una opción de compra vanilla, y el delta de una opción binaria de compra tiene la misma forma que la gamma de una opción de compra vanilla.

Las suposiciones del modelo de Black-Scholes no son todas empíricamente válidas. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero su aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones – seguir el modelo ciegamente expone al usuario a riesgos inesperados.^[29]​ Entre las limitaciones más significativas se encuentran:

• la subestimación de movimientos extremos, lo que produce riesgo de cola (tail risk), que puede cubrirse con opciones fuera de dinero (out-of-the-money);
• la suposición de trading instantáneo y sin costos, lo que produce riesgo de liquidez, que es difícil de cubrir;
• la suposición de un proceso estacionario, lo que produce riesgo de volatilidad, que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
• la suposición de tiempo continuo y trading continuo, lo que produce riesgo de salto (gap risk), que puede cubrirse con cobertura Gamma;
• el modelo tiende a subvalorar las opciones muy fuera de dinero y a sobrevalorar las opciones muy en el dinero.^[30]​

En resumen, mientras que en el modelo de Black-Scholes se puede cubrir perfectamente las opciones simplemente con cobertura delta (delta hedging), en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo de Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a las suposiciones simplificadoras del modelo. Una limitación significativa es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso estacionario estricto log-normal, ni la tasa de interés libre de riesgo es realmente conocida (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre los datos empíricos y el modelo de Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy fuera de dinero (out-of-the-money), lo que corresponde a cambios de precios extremos; tales eventos serían muy raros si los rendimientos estuvieran distribuidos de manera log-normal (Distribución log-normal), pero se observan con mucha más frecuencia en la práctica.

Sin embargo, la valoración de Black-Scholes se utiliza ampliamente en la práctica,^[31]​ porque es:

• Fácil de calcular
• Una aproximación útil, particularmente al analizar la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
• Una base sólida para modelos más refinados
• Reversible, ya que la salida original del modelo, el precio, puede usarse como entrada y resolverse para una de las otras variables; la volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como una convención de cotización).

El primer punto es evidentemente útil. Los otros pueden discutirse más:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo son útiles para configurar coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: El modelo de Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para tratar algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, se consideran como variables, y por lo tanto como fuentes adicionales de riesgo. Esto se refleja en las Griegas (el cambio en el valor de la opción para un cambio en estos parámetros, o equivalentemente las derivadas parciales con respecto a estas variables), y cubrir estas Griegas mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, notablemente el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de estrés (stress testing).

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de asumir una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción en precios, duraciones y precios de ejercicio dados. Resolviendo para la volatilidad sobre un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita. En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, se obtiene una coordinate transformation (transformación de coordenadas) del dominio del precio al dominio de la volatilidad. Así, en lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre strikes, duraciones y frecuencias de cupón), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a la negociación de volatilidad en los mercados de opciones.

Una de las características atractivas del modelo de Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, el precio de ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio actual del subyacente) son inequívocamente observables. Todas las demás cosas siendo iguales, el valor teórico de una opción es una función monótonamente creciente de la volatilidad implícita.

Al calcular la volatilidad implícita de las opciones negociadas con diferentes precios de ejercicio y vencimientos, se puede probar el modelo de Black-Scholes. Si el modelo de Black-Scholes se cumpliera, entonces la volatilidad implícita para una acción en particular sería la misma para todos los precios de ejercicio y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico 3D de la volatilidad implícita frente al precio de ejercicio y al vencimiento) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento dado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas sesgadas: en comparación con las opciones en el dinero (at-the-money), la volatilidad implícita es sustancialmente más alta para precios de ejercicio bajos y ligeramente más baja para precios de ejercicio altos. Las divisas tienden a tener curvas más simétricas, con la volatilidad implícita más baja en el dinero y volatilidades más altas en ambos extremos (wings). Las materias primas a menudo tienen un comportamiento inverso al de las acciones, con una volatilidad implícita más alta para precios de ejercicio más altos.

A pesar de la existencia de la sonrisa de volatilidad (y la violación de todas las demás suposiciones del modelo de Black-Scholes), la EDP de Black-Scholes y la fórmula de Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho del mercado y utilizar una volatilidad implícita de la misma en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como usar "el número equivocado en la fórmula equivocada para obtener el precio correcto".^[32]​ Este enfoque también da valores utilizables para los ratios de cobertura (las Griegas). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de la volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, precios de ejercicio, etc.

El modelo de Black-Scholes no puede aplicarse directamente a los valores de bonos debido al fenómeno de acercamiento a la par (pull-to-par). A medida que el bono se acerca a su fecha de vencimiento, todos los precios asociados con el bono se vuelven conocidos, disminuyendo así su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se ha utilizado un gran número de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo de Black, para tratar este fenómeno.^[33]​

En la práctica, los tipos de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), dando lugar a una curva de tipos de interés que puede interpolarse para elegir una tasa apropiada para utilizar en la fórmula de Black-Scholes. Otra consideración es que los tipos de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede contribuir significativamente al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente análogo a la relación entre el tipo de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.

Mantener una posición corta en acciones (short stock), como es inherente en la derivación del modelo, normalmente no está libre de costos; equivalentemente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa. En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no exista una asimetría evidente entre el costo de endeudamiento por la posición corta y los ingresos por el préstamo de acciones en una posición larga.

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo de Black-Scholes simplemente reformula modelos existentes y ampliamente utilizados en términos de una "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante.^[34]​ También afirman que Boness, en 1964, ya había publicado una fórmula "realmente idéntica" a la ecuación de valoración de opciones de compra de Black-Scholes.^[35]​ Edward Thorp también afirma haber deducido la fórmula de Black-Scholes en 1967, pero la mantuvo en secreto para ganar dinero para sus inversores.^[36]​ Emanuel Derman y Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían propuesto modelos similares antes de Black y Scholes.^[37]​ En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo.^[31]​^[38]​

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway, Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula de Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares por opciones, produce resultados extraños cuando se valoran las variedades a largo plazo... La fórmula de Black-Scholes ha alcanzado el estatus de texto sagrado en las finanzas ... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos extendidos, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes casi ciertamente entendieron bien este punto. Pero sus seguidores devotos pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres adjuntaron cuando presentaron la fórmula por primera vez."^[39]​

El matemático británico Ian Stewart, autor del libro de 2012 titulado En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo,^[40]​^[41]​ dijo que Black-Scholes había "apuntalado un crecimiento económico masivo" y que para 2007 "el sistema financiero internacional negociaba derivados valorados en un cuatrillón de dólares al año". Dijo que la ecuación de Black-Scholes era la "justificación matemática para la negociación" y, por lo tanto, "un ingrediente en un rico estofado de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa" que contribuyó a la crisis financiera de 2008.^[42]​ Aclaró que "la ecuación en sí no era el problema real", sino su abuso en la industria financiera.^[42]​

El modelo de Black-Scholes asume precios del subyacente positivos; si el subyacente tiene un precio negativo, el modelo no funciona directamente.^[43]​^[44]​ Cuando se trata de opciones cuyo subyacente puede volverse negativo, los profesionales pueden utilizar un modelo diferente, como el modelo de Bachelier,^[44]​^[45]​ o simplemente añadir un desplazamiento constante a los precios.

• Modelo binomial de opciones, un método numérico discreto para calcular precios de opciones.
• Modelo de Black, una variante del modelo de valoración de opciones de Black-Scholes.
• Modelo browniano de mercados financieros.
• Método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales.
• Matemáticas financieras.
• Método de pago difuso (fuzzy pay-off) para la valoración de opciones reales.
• Ecuación del calor, a la que se puede transformar la EDP de Black-Scholes.
• Difusión con saltos (Jump diffusion).
• Modelo de opciones de Monte Carlo, que utiliza simulación en la valoración de opciones con características complicadas.
• Análisis de opciones reales.
• Volatilidad estocástica.
  • Valuación
  • Valoración de patentes
  • Volatilidad implícita

• Venegas-Martínez, Francisco. Riesgos financieros y económicos. Ciudad de México: Cengage Learning, 2008.
• Black, Fischer; Myron Scholes (1973). «The Pricing of Options and Corporate Liabilities». Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062 (Black and Scholes' original paper)
• Merton, Robert C. (1973). «Theory of Rational Option Pricing». Bell Journal of Economics and Management Science. 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143
• Hull, John (2015). Options, futures, and other derivatives. ISBN 978-1292212890. 

• VIDEO: Cómo armar un Excel para la fórmula de Black & Scholes